Intervali povjerenja

Napomena: U nastavku su kodovi koji odgovaraju zadacima rađenim na času i ne predstavljaju kompletno rešenje zadataka!

1. Naći 95%-tni interval povjerenja za nepoznati parametar \(m\) ako je dat uzorak iz normalne \(\mathcal{N(m, 100)}\) raspodjele za koji je \(\overline{x}_n=118, \ n=64\).

Rešenje:

n <- 64
xn <- 118
beta <- 0.95
sigma2 <- 100

c1 <- qnorm ((1+beta)/2)
c1

## [1] 1.959964

interval_povjerenja <- c(xn - c1*sqrt(sigma2/n) , xn + c1*sqrt(sigma2/n))
interval_povjerenja

## [1] 115.55 120.45

2. Naći 95%-tni interval povjerenja za \(m\) na osnovu uzorka obima \(n\) ako je \(X \sim\mathcal{N}(m,\sigma^2)\) gdje je \(\sigma^2\) nepoznato, ako je \(n=25, \ \overline{x}_n=2.6, \ \overline{s}_n^2=170.36\).

Rešenje:

n <- 25
sn2 <- 170.36
xn <- 2.6
beta <- 0.95

c1 <- qt((1+beta)/2, 24) # kvantil studentove raspodjele sa 24 stepena slobode 
c1

## [1] 2.063899

interval_povjerenja <- c(xn - c1*sqrt(sn2/(n-1)) , xn + c1*sqrt(sn2/(n-1)))
interval_povjerenja 

## [1] -2.898783  8.098783

3. Neka je dat uzorak iz normalne raspodjele \(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\) obima 20 za koji je izračunata uzoračka sredina \(\overline{s}_n^2=21.12\). Naći 99%-tni dvostrani interval povjerenja za nepoznati parametar \(\sigma^2\).

Rešenje:

n <- 20
sn2 <- 21.12
beta <- 0.99
a <- qchisq((1-beta)/2,19) # kvantila hi-kvadrat raspodjele sa 19 stepeni slobode
b <- qchisq((1+beta)/2,19)
a

## [1] 6.843971

b

## [1] 38.58226

interval_povjerenja <- c(n*sn2/b, n*sn2/a)
interval_povjerenja

## [1] 10.94804 61.71855

# Za domaci: Uraditi zadatak u slucaju da je dat podatak o popravljenoj uzorackoj diseprziji.

Naći jednostrani ( gornji i donji ) interval povjerenja za \(\sigma^2\) na osnovu istog uzorka.

# gornji 
n <- 20
sn2 <- 21.12
beta <- 0.99

c1 <- qchisq(0.99, n-1)

gornji_interval <- c(n*sn2/c1, Inf)
gornji_interval

## [1] 11.67145      Inf

c2 <- qchisq(0.01, n-1)

donji_interval <- c(0, n*sn2/c2)
donji_interval

## [1]  0.00000 55.34062

4. U nekoj anketi od 500 ispitanika 285 se izjasnilo protiv. Naći 90%-tni interval povjerenja za vjerovatnoću da se slučajno odabrana osoba izjasni protiv.

Rešenje:

n <- 500
xn <- 285/500
beta <- 0.9

c1 <- qnorm((1+beta)/2)

(interval_povjerenja <- c(xn - c1* sqrt(xn*(1-xn)/n),xn + c1* sqrt(xn*(1-xn)/n)))

## [1] 0.5335822 0.6064178

5. Istražovač procjenjuje procenat gojaznih osoba sa visokim krvnim pritiskom. Od 25 ispitanika 20 ima visok pritisak. Naći 95%-tni interval povjerenja za parametar \(p\) koji predstavlja vjerovatnoću da gojazna osoba ima visok krvni pritisak.

n <- 25
xn <- 20/25
beta <- 0.95
c1 <- qnorm((1+beta)/2)

# Kako u ovom zadatku nismo mogli da aproksimiramo p(1-p) sa xn(1-xn) zbog malog obima uzorka, na casu smo resavanjem kvadratne nejednacine dobili da je interval povjerenja za p:
c(0.61,0.91)

## [1] 0.61 0.91

6. DOMAĆI: Naći 90%-tni i 80%-tni interval povjerenja za nepoznati parametar \(p\) ako je u istraživanju u kojem učestvuje 100 ljudi dobijena srednja vrijednost 0.45.

7. Student želi da istraži procenat ljevorukih osoba. Ispitano je 100 ljudi i među njima je samo pet ljevorukih osoba. Ako nađemo 90% interval povjerenja da li će on sadržati vrijednost 0.1? Ako ne, naći neko drugo \(beta\) tako da dobijeni interval sadrži tu vrijednost.

# Uraditi zadatak samostalno. Konstanta koja je potrebna:
c1 <- qnorm((1+0.9)/2)
# Ispostavlja se da je 90%-tni interval (0.025 , 0.099) ne sadrzi 0.1, a vec 
# 91% sadrzi. Pokazati ovu tvrdnju. Potrebna kostanta:
c2 <- qnorm((1+0.91)/2)

8. DOMAĆI: Od poslednjih 10 puta kada je tostirani sendvic pao, 9 puta je pao na “ukusnu” stranu. Naći 80% interval povjerenja za vjerovatnoću p da sendvič pada na tu stranu.

9. Izvršeno je ispitivanje 250 ljudi i dobijena ocjena za \(p\) je 0.45. Isto istraživanje je ponovljeno za 1000 ljudi i dobijena je ista ocjena. Naći 95%-tni interval povjerenja u oba slučaja. Koliko je puta drugi interval manji od prvog. Koliko veliko treba da bude \(n\) u istraživanju da bi 95%-tni interval bio dužine ne veće od 0.01?

xn <- 0.45
n1 <- 250
n2 <- 1000
beta <- 0.95

c1 <- qnorm((1+beta)/2)

# duzina intervala povjerenja 

d <- function(n, xn=0.45){
  2 * sqrt(xn*(1-xn)/n) * c1
  
}

# odnos duzina

d(n1)/d(n2) # =2, pa je drugi interval dva puta kraci

## [1] 2

# Trazeno n je:

(n3 <- ceiling(4*c1^2*xn*(1-xn)/(0.01)^2))

## [1] 38031

# Provjeravamo duzinu intervala u tom slucaju
d(n3)

## [1] 0.009999927

d(n3) <= 0.1

## [1] TRUE

Primjer

# Generisacemo 10^5 nezavisnih uzoraka obima n=1000 iz standardne normalne 
# raspodjele N(0,1) i na osnovu svakog od njih pojedinacno naci 95%-tni interval
# povjerenja za parametar m. Zatim provjeravamo procenat intervala koji sadrze
# pravu vrijednost parametra m, u ovom slucaju nulu. Sta ocekujemo kao rezultat?

# Funkcija koja nam za proslijedjeni uzorak vraca odgovarajuci interval
# povjerenja. U ovom slucaju smatramo da je sigma2 poznato i jednako 1.

ip <- function(x, beta = 0.95, sigma = 1) {
  c1 <- qnorm((1 + beta) / 2)
  n <- length(x)
  c(mean(x) - c1 * sigma / sqrt(n), mean(x) + c1 * sigma / sqrt(n))
  
}

# Pravimo matricu koja ima 10^5 redova od po 1000 elemenata. Svaki od redova
# predstavlja jedan nezavisan uzorak iz standardne normalne raspodjele.

m <- matrix(rnorm(10^5 * 1000), nrow = 10^5, ncol = 1000)

#  Za svaku od vrsta trazimo interval povjerenja:

l <- apply(m, 1, function(x) ip(x))

# Na ovaj nacin dobijamo matricu od 2 vrste i 10^5 kolona, odnosno svaka od
# kolona predstavlja po jedan interval povjerenja

# Provjeravamo koji je procenat tih intervala koji sadrze nulu.

a <- apply(l, 2, function(x) x[1] <= 0 && x[2] >= 0)
mean(a)*100 # blizu 95 sto je i ocekivano

## [1] 94.897