# 1) 
# Baca se kockica N puta, potrebno je odrediti frekvenciju bacanja sestice, ako je kocka homogena, tj P(i)=1/6
# za i=1,2,...,6. Napraviti funkciju koja iscrtava histogram od n ponovljenih eksperimenata.


# Prvi nacin za resenje, preko "runif" funkcije.
# Ideja koda jeste da slucajno simuliramo neki broj i proveravamo u koji interval je upao.
# Ukoliko je broj veci od 5/6, onda je upao u interval [5/6, 1], a verovatnoca upadanja u taj interval je bas 1/6.
# Sto i jeste trazena verovatnoca dobijanja sestice.
frekvencija_sestice <- function(N)
{
  x=runif(N, 0, 1) 
  #obratite paznju, ovo je vektor duzine N
  
  return(mean(x >= 5/6))
}

frekvencija_sestice(100000)

# Moramo prethodnu funkciju ponoviti n- puta da bismo mogli da dobijemo vise podataka, taj ocenjenih verovatnoca
# da bismo mogli da plotujemo histogram, stoga ova funkcija ispod.
# Sve rezultate od n poziva funkcije frekvencija_sestice pakujemo u jedan vektor, prema kojem posle pravimo histogram.
histogram1 <- function(n, N)
{
  vektor_frekvencija = vector(length = n) # prazan vektor
  for(i in 1:n)
  {
    vektor_frekvencija = c(vektor_frekvencija, frekvencija_sestice(N))
  }
  hist(vektor_frekvencija)
  return(vektor_frekvencija)
}

frekvencija_sestice(100000)
1/6
histogram1(100, 100)


# Drugi nacin:
# Umesto funkcije "runif", koristicemo funkcije "sample", koja ce na slucajan nacin, da odabere jedan broj od 1 do 6 (prvi argument),
# sa datim verovatnocama dobijanja svakog od tih brojeva (cetvrti argument funkcije)
# 
frekvencija_sestice2 <- function(N)
{
  x=sample(1:6, N, replace = TRUE, prob=c(1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6) )
  return(mean(x == 6))
}

histogram2 <-function(n, N)
{
  vektor_frekvencija = vector(length = n) # prazan vektor duzine n
  
  # Drugi nacin da se izbegne for petlja
  vektor_frekvencija = sapply(vektor_frekvencija, function(x) frekvencija_sestice2(N) )
  hist(vektor_frekvencija)
  return(vektor_frekvencija)
}


# 2)
# Istovremeno i nezavisno se baca homogena kockica za igru i fer novcic. Naci verovatnocu da je pala sestica i glava. 
# I oceniti tu verovatnocu MonteKarlo metodom u R-u.


# Slicno kao i u prethodnom zadatku napravimo funkciju

zadatak2 <- function(n)
{
  rezultati = runif(n)
  return(mean(rezultati < 1/12))
}

# Ili

zadatak2_druga_verzija <- function(n)
{
  kockica = sample(1:6, size = n, replace = TRUE) # prob ne moramo da pisemo kad je jednakoverovatno
  novcic = sample(c('Glava', 'Pismo'), size = n, replace = TRUE)
  return(mean(kockica == 6 & novcic == 'Glava'))
}

zadatak2(10000)
zadatak2_druga_verzija(10000)
1/12
# Ocekivano i vracaju slicne brojeve

# 3)  
# (a) Napraviti funkciju koja vraca brojeve od 1 do 6, tako da su svi jednako verovatni.

# Na jedan od od nacina koji su navedeni u prethodnom zadatku: moze preko sample (bas takav sample smo napravili u zadatku 1)
# ili preko runif na sledeci nacin:
x = runif(1, 0, 1) # dobijamo jedan realan broj izmedju 0 i 1. 
x1 = floor(6*x)+1  # mnozimo sa 6, uzimamo ceo deo i dodajemo 1, time dobijamo to sto je trazeno.

# 4)
# (a) Neka igrac ima pocetni kapital A i on baca kockicu. Ako dobije 1, 3 ili 5, njegov kapital
# se uveca za 1 dinar, a u suprotnom izgubi 1 dinar. Za N ponovljenih bacanja, nacrtati
# trajektoriju njegovog kapitala u zavisnosti od trenutnog bacanja.
# Oceniti verovatnocu da je igrac u plusu nakon n partija?

# Ideja: pomocu funkcije sample imitiramo bacanje kockice i proveravamo pomocu if naredbe da li smo dobili 1, 3 ili 5.
# Ukoliko jesmo, kapiral se povecava za jedan, inace smanjuje za jedan.
# Sve to smestimo u jedan vektor, koji smo nazvali trajektorija i plotujemo ga na kraju.
bacanja <- function(a, N)
{
  x = sample(1:6, N, replace = TRUE)
    
  rezultat = ifelse(x %% 2 == 1, 1, -1)
  
  trajektorija = cumsum(rezultat) + a
  
  return(trajektorija)
}

trajektorija = bacanja(10, 100)
plot(trajektorija)
abline(trajektorija[1], 0)

# Moramo funkciju "bacanja" vise puta (u nasem slucaju n) da pokrenemo da bismo videli koliko cesto igrac zavrsava u plusu\minusu
verovatnoca_plusa <- function(a, N, n)
{
  bacanja = sapply(vector(length = n), function(x) bacanja(a, N))
  
  rezultat = ifelse(bacanja > a, 1, 0)
  return(mean(rezultat))
}

verovatnoca_plusa(1, 1000, 1000)
system.time(verovatnoca_plusa(1, 1000, 1000))

# a sad isto preko for-petlji
bacanja_for <- function(a, N)
{
  trajektorija = a
  for(i in 1:N)
  {
    x = sample(1:6, 1, replace = TRUE)
    rezultat = ifelse(x %% 2 == 1, a <- a + 1, a <- a - 1)
    trajektorija=c(trajektorija, rezultat)
  }
  return(trajektorija)
}


# Moramo funkciju "bacanja" vise puta (u nasem slucaju n) da pokrenemo da bismo videli koliko cesto igrac zavrsava u plusu\minusu
verovatnoca_plusa_for <- function(a, N, n)
{
  vektor_plusa=c()
  for(i in 1:n)
  {
    x = bacanja_for(a, N)
    b = ifelse(x[N] > a , 1, 0)
    vektor_plusa=c(vektor_plusa, b)
  }
  return(mean(vektor_plusa))
  
}

verovatnoca_plusa_for(1, 100, 100)
system.time(verovatnoca_plusa_for(1, 1000, 1000))
system.time(verovatnoca_plusa(1, 1000, 1000))
# vidimo da je razlika OGROMNA, a nije ni samo zbog for-petlji, vec i generalno kod kvalitetnije napisan


# (b) Imamo i drugog igraca, koji ide u kazino i igra rulet 
# (po americkim pravilima, odnosno moguci su brojevi:0, 00, 1, 2, 3, ..., 36 )
# Brojevi 0 i 00 su zeleni, dok su preostali prirodni brojevi crni ili crveni, tacno po pola.
# Simulirati za N pokusaja da nas igrac igra na crveno i iscrtati trajektoriju (odnosno grafik njegovog kapitala)
# njegovog kapitala. (Pobeda donosi 1$)
# Simulirati za N pokusaja da nas igrac stavlja na neki tacan broj sve vreme, iscrtati trajektoriju. 
# (Pobeda donosi 35$)

# Ideja: slicno kao u prethodnom zadatku, samo sada imamo 1/38 verovatnocu da ispadne neki broj. A kako je 
# brojeva jedne boje 18, to je verovatnoce boje 18/38, sto i proveravamo, da li smo upali u interval duzine 18/38.
# Duzina intervala iz [0,1] zapravo predstavlja verovatnocu.
rulet_boja <- function(a, N)
{
  bacanja = ifelse(runif(N) <= 18/38, 1,  -1)
  trajektorija = cumsum(bacanja) + a
  plot(trajektorija, type = "b")
  abline(a, 0)
  return(trajektorija)
}


# Slicno, samo ovoga puta za broj, ne za boju, znaci menja se verovatnoca. sada je 1/38 i vise dobijamo kada ubodemo tacan.
rulet_broj<- function(a, N)
{  
  bacanja = ifelse(runif(N) <= 1/38, 35,  -1)
  trajektorija = cumsum(bacanja) + a
  plot(trajektorija, type = "b")
  abline(a, 0)
  return(trajektorija)
}

par(mfrow = c(1,2))
boja = rulet_boja(10, 500)
broj = rulet_broj(10, 500)


# (c) Za domaci: isprobati i simulirati sistem dupliranja ulozenog novca, tj:
# Pretpostavimo da ste stavili 1$ na crveno, svaki put kada pobedite opet stavljate 1$. Svaki put kada izgubite
# duplirate ulaganje. I pretpostavimo da stajete posle 5$ dolara u plusu i 100$ u minusu. Da li se isplati?


# 5) 
# Nesto o MonteKarlo metodi.
# Zelimo da odredimo povrsinu ispod neke odredjene funkcije na intervalu [0, 1] pomocu Monte Karlo metode.
N=100000
s=5

Montekarlo <- function(N,s) # s - stepen funkcije, s>0.
{
  brojac = 0
  for(i in 1:N)
  {
    x=runif(1, 0, 1)
    y=runif(1, 0, 1)
    # To su nase koodinate tacke
    
    if(y < x^s) #a mogli smo da stavimo i cos(x), sin(x) itd. 
    {
      brojac = brojac + 1
    }
  }
  return(brojac/N)
}
Montekarlo(N, s)


Montekarlo2<-function(N,s)
{
  x=runif(N, 0, 1)
  y=runif(N, 0, 1)
  z=ifelse(y < x^s, 1, 0)
  return(mean(z))
}
Montekarlo2(N, s)


system.time(Montekarlo(N*10, s))
system.time(Montekarlo2(N*10, s))


# 6)
# Na turniru treba da odigrate tri partije stonog tenisa sa sampionom A i od njega slabijim igracem B po jednog od shema:
# A-B-A ili B-A-B. Nagradu dobijate ako pobedite bar dve partije uzastopce. Koju biste strategiju odabrali i zasto? 
# Dokazati i pokazati ispravno resenje.


shema1 <- function(p1, p2)
{
  x = runif(1)
  y = runif(1)
  z = runif(1)
  if( (x < p1 & y < p2) | (y < p2 & z < p1) )
  {
    return(1)
  }
  else 
  {
    return(0)
  }
}

shema2 <- function(p1, p2)
{
  x = runif(1)
  y = runif(1)
  z = runif(1)
  if( (x < p2 & y < p1) | (y < p1 & z < p2) )
  {
    return(1)
  }
  else 
  {
    return(0)
  }
}

bolja <- function(n, p1, p2)
{
  vektor = c()
  for(i in 1:n)
  {
    v1 = shema1(p1, p2)
    v2 = shema2(p1, p2)
    if( v1 - v2 > 0 )
    {
      vektor = c(vektor, 1)
    }
    else
    {
      if( v2-v1 > 0 )
      {
        vektor = c(vektor,2)
      }
    }
  }
  return( sum(vektor == 1)/sum(vektor == 2) )
}
bolja(10000, 0.4, 0.7)


# 7)
# Neka je dat novcic kod kojeg sa verovatnocom p > 0.5 pada Glava. Smisliti fer zreb izmedju dva igraca koristeci taj novcic.








nefer_igra <- function(p, N)
{
  pobeda1 = 0
  pobeda2 = 0
  for(i in 1:N)
  {
    x=sample(c(0, 1), 2, replace = TRUE, c(p, 1 - p))
    if(x[1] == 0 & x[2] == 1)
    {
      pobeda1 = pobeda1+1
    }
    if(x[1] == 1 & x[2] == 0)
    {
      pobeda2 = pobeda2 + 1
    }
    
  }
  return(pobeda1/pobeda2)
}

nefer_igra(0.9, 10000)

# 8)
# Tri kockice za igru se bacaju n puta odjednom. Oceniti verovatnocu da se bar jednom u zavisnosti
# od n dogode sve tri sestice.


tri_sestice <- function(n)
{
  rezultat_prve = sample(1:6, size = n, replace = TRUE)
  rezultat_druge = sample(1:6, size = n, replace = TRUE)
  rezultat_trece = sample(1:6, size = n, replace = TRUE)
  indikator = ifelse(rezultat_prve == 6 & rezultat_druge == 6 & rezultat_trece == 6, 1, 0)
  return(mean(indikator))
}
tri_sestice(10000)
1/216

# 9)
# Neka porodica pravi decu sve dok ne dobije zensko dete. Odrediti prosecan broj dece u porodici
# ako se testira 100 000 porodica. Pretpostavka je da je P(musko dete) = P(zensko dete) = 1/2.


# Ilustracija postojanja i "while" petlje u R-u.
porodice <- function(n = 100000, p = 1/2)
{
  broj_dece = rep(1, n)
  for(i in 1:n)
  {
    dete = runif(1)
    while(dete < p)
    {
      dete = runif(1)
      broj_dece[i] = broj_dece[i] + 1
    }
  }
  return(mean(broj_dece))
}

porodice()



# Kombinatorika

# 10)
# U spilu postoje 52 karte: 4 boje po 13 vrednosti. Izvlacimo 5 karata.
# Posmatrajmo dogadaje:
# (a) A - izvukli smo boju (izraz koji govori da su karte u istom znaku, ali nisu 5 uzastopnih vrednosti),
# (b) B  -izvukli smo dva para (dva puta po ista vrednost i jedna karta razlicite vrednosti od prethodnih 4).
# Izracunati verovatnoce dogadaja A i B.

# resenje
# (a) 4(C^13_5 - 10)/ C^52_5

# (b) (C^13_1 * C^4_2 * C^12_1 * C^4_2 * C^44_1 * 1/2 )/C^52_5


# 11)
# Imamo tri kutije i sest identicnih kuglica.

# (a) Ako delimo kuglice tako da se u svakoj kutiji nadje bar jedna, kolika je verovatnoca da u jednoj
# kutiji budu dve kuglice, u drugoj da budu tri, a u trecoj da bude jedna?

# (b) Kolika je verovatnoca ako dozvolimo da u nekoj kutiji nema kuglica?


# resenje
# (a) 1/10
# (b) 1/C^8_2 = 1/28, jer mogu i da se poklope pregrade