# Cas 8                                                                         08.12.2017.


# Normalna raspodjela

# [Teorema] Ako su X1,X2,...,Xn nezavisne slucajne sa raspodjelama
# N(m1,d1^2),...,N(mn, dn^2), redom, onda Sn=X1+...+Xn ima N(m1+...+mn,
# d1^2+...+dn^n) raspodjelu.

# Primjer: X1 ~ N(1,2), X2 ~ N(0,1), Z=X1+X2~N(1,3)

x1<-rnorm(1000, 1, sqrt(2))
x2<-rnorm(1000)

z<-x1+x2

mean(z)
var(z)

hist(z, prob=TRUE)
curve(dnorm(x, 1, sqrt(3)), add = TRUE)

# Drugi nacin je da uporedimo gustinu ocijenjenu iz uzorka sa teorijskom

plot(density(z), col="blue", lwd=2)
curve(dnorm(x, 1, sqrt(3)), add = TRUE, lwd=2)


# Primjer sa casa: X ima N(0,4) raspodjelu. Odrediti a za koje vazi P{|X|>a}=0.1

-4*qnorm(0.05)


# Preduzece u jednoj smjeni proizvede 1000 artikala jedne vrste. Vjerovatnoca
# da je artikal neispravan je 0.05. Po zavrsetku smjene, neispravni artikli se
# stavljaju u posebno skladiste. Aproksimirati vjerovatnocu da je 550 mjesta u
# skladistu dovoljno za sve neispravne artikle iz jedne smjene.

# X~B(10000, 0.5)
# np>10, n veliko-> moguca aproksimacija normalnom raspodjelom

# Trazena vjerovatnoca je : P{X<=550}
# Nakon standardizacije (na tabli) trazenu vj. aproksimiramo sa:

pnorm((550-500)/sqrt(500*0.95))


# Domaci:

# Racunar u procesu sabiranja brojeva vrsi zaokruzivane na najblizi cio broj.
# Pretpostavlja se da su greske nastale zaokruzivanjem nezavisne i uniformno
# rasporedjene na segmentu [-0.5, 0.5].
# a) Ako se sabira 1500 brojeva izracunati vjerovatnocu da apsolutna vrijednost
# ukupne greske bude veca od 15.
# b) Koliko se najvise brojeva moze sabrati pa da sa vjerovatnocom 0.9
# vrijednost ukupne greske bude manje od 10?


# Trasnformacije slucajnih velicina 


#1.Neka slucajna velicina X ima uniformnu U(0,1) raspodjelu. Odrediti raspodjelu
#slucajne velicine W = -ln(X).


# Slucajna velicina W ce imati eksponencijalnu Exp(1) raspodjelu.(na casu) Na
# osnovu toga mozemo da generisemo uzorak iz eksponencijalne raspodjele pomocu
# slucajnih brojeva iz (0,1)

x <- runif(1000)
w <- -log(x)

# Opstije, ako X ~ U(0,1) onda W= -1/lambda log(X) ~ EXp(lambda)

lambda <- 3

x <- runif(1000)
w <- (-1 / lambda) * log(x)

w1 <- rexp(1000 , rate = lambda)

par(mfrow=c(1,2)) # podesavanje prikaza grafika 

plot(density(w))
plot(density(w1))



# 2. Slucajna velicina X ima Uniformnu raspodelu Unif[-pi/2, pi/2]. Ako je Y = 
# cos(X), odrediti gustinu slucajne velicine Y. Naci pomocu simulacija(Monte
# Karlo) E(Y)

x<-runif(10000, min = -pi/2, max = pi/2)
y<-cos(x)

EY<-mean(y)

plot(density(y))
 
# Neka je X ~ Exp(a). Naci funkcije raspodjele i ocijeniti simulacijama srednju
# vrijednost sledecih slucajnih velicina:
# a) Y = |1 - X| domaci !
# b) Z = min{X, X^2}
# v) T = [X] Ovaj dio uraditi samo simulacijom.

a <- 2


x <- rexp(10000, rate = 2)

y <- abs(1 - x)

mean(y)

z <- pmin(x, x ^ 2)
mean(z)

t <- floor(x)
mean(t)


# 4. Slucajna velicina X ima U(-1,1) raspodjelu. Naci raspodjelu i izracunati
# ocekivanje slucajne velicine Y=sgn(X)
  

# Zbirovi nezavisnih slucajnih velicina

# Vec smo vidjeli da ce zbir normalnih da da opet normalnu raspodjelu.
# U opstem slucaju zbir slucajnih velicina iz iste raspodjele ne mora
# da bude iz iste familije raspodjela

# Gama raspodjela Gamma(alpha,beta) a,b>0

# gustina, EX, DX 

#[Teorema] Neka su X1, X2,...,Xn nezavisne slucajne velicine koje imaju sve 
#Exp(b) raspodjelu, gdje je a>0. Tada zbir X1+X2+...+Xn ima Gamma(n,b) 
#raspodjelu.

# Parametri koji se zadaju: shape=alpha, rate=beta


# Hocemo Gamma(2, 1) raspodjelu

x<-rgamma(10000, shape = 2, rate = 1)
mean(x)  # EX=alpha/beta
var(x)   # DX=alpha/beta^2


# pgamma, dgamma analogno kao kod drugih raspodjela


# Hocemo da provjerimo pomenutu teoremu.

zbir<-function(n,b){
  
  x<-rexp(n, rate=b)
  
  sum(x)
  
}

gamma<-replicate(10000,zbir(2,1))
mean(gamma)


hist(x, probability = T)
hist(gamma, probability = T)



# Hi kvadrat raspodjela
# X1, X2, ..., Xn slucajne velicine sa N(0,1) raspodjelom, onda 
# X1^2+X2^2+...+Xn^2 ima hi kvadrat raspodjelu sa n stepeni slobode.