Statistika za automatsku analizu podataka

Uvod u R

Deklaracija promenljive

Operator dodele u R-u je <- (ali može da se koristi i =)

x <- 9

9 -> x

Numeričke vrednosti su podrazumevano tipa double (na primer 5/2 nije celobrojno deljenje već je jednako 2.5)

Elementarne funkcije: `exp()`, `cos()`, `sin()`, `log()`, …

Aritmetički operatori:`+`,`-`,`*`,`/`

Logički operatori: `<=`,`>=`, `==`, `!=`, `<`,`>`, `&` , `|`, `!`

Vektori

U R-u postoji mnoštvo funkcija za rad sa vektorima tako da je poželjno podatke čuvati u vidu vektora (ili matrica).

Neki od načina zadavanja vektora:

vector1 <- c(1, 10, 49)
vector2 <- c("a", "b", "c")
vector3 <- c(TRUE, FALSE)

vec <- rep(0, 10)
vec <- rep(c(1, 2, 3), 3)

vec <- seq(1, 5)
vec <- seq(0, 1, 0.1)
vec <- seq(9, 1, -1)
vec <- seq(1, 5, length.out = 4)

vec <- 1:9

`for` petlja

vec <- numeric(10)

for (i in 1:10) 
{
vec[i] <- i ^ 2
}
vec

##  [1]   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100

`if/else`

x <- 5
if (x %% 2 == 0) {
print("x je paran")
} else
print("x je neparan")

## [1] "x je neparan"

Može i u jednom redu:

ifelse(x %% 2 == 0, print("x je paran"), print("x je neparan"))

## [1] "x je neparan"

## [1] "x je neparan"

Operacije sa vektorima

a <- 1:5
b <- c(3, 4, 5, 6, 7)

Aritmetičke operacije

5*a

## [1]  5 10 15 20 25

a+b

## [1]  4  6  8 10 12

a-b

## [1] -2 -2 -2 -2 -2

a/b

## [1] 0.3333333 0.5000000 0.6000000 0.6666667 0.7142857

Logičke operacije

a == b

## [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

a > b

## [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

a <= 5

## [1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

Ako hoćemo da poredimo cela dva vektora:

all(a == b)

## [1] FALSE

all(a == a)

## [1] TRUE

Ako dva vektora nisu iste dužine, vrednosti kraćeg vektora se ponavljaju ciklično dok se ne pogode iste dimenzije sa dužim vektorom.

u<-c(10, 20, 30) 
v<-c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 
u + v

## [1] 11 22 33 14 25 36 17 28 39

I funkcije u R-u su vektorske (primenjuje se na svaki član vektora).

cos(a)

## [1]  0.5403023 -0.4161468 -0.9899925 -0.6536436  0.2836622

log(a)

## [1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1.3862944 1.6094379

Vektori

Indeksiranje vektora počinje od jedinice!

v[3]  # element na 3. poziciji u vektoru v

## [1] 3

Možemo da izdvojimo i neke cele vektore.

v[c(1, 2)]

## [1] 1 2

v[c(3, 4, 5)]

## [1] 3 4 5

v[2:4]

## [1] 2 3 4

v[c(2, 1, 3)]

## [1] 2 1 3

v[v < 5]

## [1] 1 2 3 4

v[v != 8]

## [1] 1 2 3 4 5 6 7 9

Ako stavimo negativan predznak indeksu rezultat je originalni vektor umanjen za član na poziciji koja odgovara apsolutnoj vrednosti broja u zagradi.

v[-4]

## [1] 1 2 3 5 6 7 8 9

v[-c(5, 7)]

## [1] 1 2 3 4 6 8 9

v[-(1:3)]  # Napomena: ":" ima manji prioritet od aritmetičkih operacija

## [1] 4 5 6 7 8 9

Novi vektor može se izdvojiti iz datog vektora uz pomoć vektora sa logičkim vrednostima koji je iste dužine kao originalni. Njegovi elementi su TRUE (ili T) ako odgovarajući element u originalnom vektoru treba da bude izdvojen, odnosno FALSE(ili F) u suprotnom.

s <- c("a", "b", "c", "d")
l <- c(T, F, T, F)
s[l]

## [1] "a" "c"

Možemo da dodelimo imena članovima vektora.

v <- c("Ivo", "Andric")
names(v) <- c("Ime", "Prezime")
v

##      Ime  Prezime 
##    "Ivo" "Andric"

Zatim možemo da pristupimo elementima po imenu.

v["Ime"]

##   Ime 
## "Ivo"

Neke funkcije nad vektorima…

vec <- rev(vec) # obrće redosled članova vektora
length(vec)

## [1] 10

i važne statistike

sum(vec)   # zbir

## [1] 385

min(vec)   # x_(1)

## [1] 1

max(vec)   # x_(n)

## [1] 100

mean(vec)  # uzoračka srednja vrednost

## [1] 38.5

var(vec)   # popravljena uzoračka disperzija

## [1] 1167.833

sd(vec)    # standardno odstupanje (sqrt(var(x)))

## [1] 34.17358

Sortiranje

sort(vec)

##  [1]   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100

sort(vec, decreasing = TRUE)

##  [1] 100  81  64  49  36  25  16   9   4   1

Izmene u vektoru

vec[2] <- 0
vec[vec < 5] <- 1
vec <- vec[1:4]

Matrice

M <- matrix( 
    c(2, 4, 3, 1, 5, 7), 
    nrow=2,              
    ncol=3,              
    byrow = TRUE)   # popunjavamo matrice po redovima (po default-u je po kolonama)
M[2,3]

## [1] 7

M[2,]       # drugi red

## [1] 1 5 7

M[,3]       # treća kolona

## [1] 3 7

M[, c(1,2)]

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    4
## [2,]    1    5

rowSums(M) # zbir po vrstama

## [1]  9 13

rowMeans(M) # srednja vrednost po vrstama

## [1] 3.000000 4.333333

colSums(M) # zbir po kolonama

## [1]  3  9 10

Funkcije

Reč function je rezervisana za deklaraciju funkcije.
Izrazi u okviru vitičastih zagrada čine telo funkcije (zagrade su opcione ako telo sadrži samo jedan izraz).

pow <- function(x, y) {
  
  result <- x^y

  print(paste(x,"na stepen", y, "je", result))

  }

Ako želimo da funkcija vrati neki rezultat:

pow2 <- function(x, y) {
  
  result <- x^y
  
  result  #  return(result)
  
}

Pozivanje funkcije

pow(2,3)

## [1] "2 na stepen 3 je 8"

pow2(2,3)

## [1] 8

Ili..

pow(x = 2, y = 3)

## [1] "2 na stepen 3 je 8"

pow(y = 3, x = 2)  #nije bitan redosled argumenata u ovom slučaju

## [1] "2 na stepen 3 je 8"

Faktori

pol <- c(0,0,1,0,1)
fpol <- factor(pol,levels=0:1)
fpol

## [1] 0 0 1 0 1
## Levels: 0 1

levels(fpol) <- c("muski","zenski")# dodeljujemo znacenje levelima faktora
fpol

## [1] muski  muski  zenski muski  zenski
## Levels: muski zenski

levels(fpol)

## [1] "muski"  "zenski"

as.numeric(fpol) #prikazuje kako su leveli kodirani, uvek pocinje od 1 (1,2,..)

## [1] 1 1 2 1 2

Dataframe

Dataframe je najčešći način čuvanja podataka u R-u i vrlo je pogodan za rad i analizu. Služi za prikaz tabelarnih podataka, pa liči na matricu, s tim što je dataframe u osnovi lista koja sadrži vektore jednakih dužina (kolone), pri čemu ti vektori ne moraju biti istog tipa. Dakle možemo imati jednu kolonu koju čine brojevi, a drugu tekstualni podaci.

Dataframe se pravi na sledeći način:

df <- data.frame(kolona1 = c(1, 2, 3), kolona2 = c("prvi", "drugi", "treci"))
df

##   kolona1 kolona2
## 1       1    prvi
## 2       2   drugi
## 3       3   treci

Vrednostima kolona možemo pristupati pomoću operatora $.

df$kolona1

## [1] 1 2 3

Pomoću operatora $ možemo i dodavati nove kolone u dataframe.

df$kolona3 <- c(7,8,9)
df

##   kolona1 kolona2 kolona3
## 1       1    prvi       7
## 2       2   drugi       8
## 3       3   treci       9

Elegantniji način filtriranja i odabira podskupova dataframe-a je korišćenjem uglastih zagrada. Koristimo notaciju df[redovi, kolone], gde prvim argumentom određujemo koje redove želimo da uzmemo, a drugim koje kolone. Prazno mesto za neki od argumenata znači “uzmi sve”.

df[1,] # prva vrsta

##   kolona1 kolona2 kolona3
## 1       1    prvi       7

df[,1] # prva kolona

## [1] 1 2 3

Redovi mogu biti ili vektori brojeva koji označavaju indekse redova koje da uzmemo, ili vektori TRUE/FALSE vrednosti iste dužine kao broj vrsta u dataframe-u, pri čemu se tada biraju redovi na pozicijama gde je u vektoru vrednost TRUE.

df[c(1,3), ] # sve kolone, redovi 1,3

##   kolona1 kolona2 kolona3
## 1       1    prvi       7
## 3       3   treci       9

Kolone mogu biti ili vektori brojeva koji označavaju koje kolone da uzmemo prema indeksu, ili vektori stringova, koji označavaju imena kolona koje da uzmemo.

df[, c(1,3)] # sve vrste, 1. i 3. kolona

##   kolona1 kolona3
## 1       1       7
## 2       2       8
## 3       3       9

df[, c("kolona1", "kolona3")] # isto

##   kolona1 kolona3
## 1       1       7
## 2       2       8
## 3       3       9

df[c(1,3), c("kolona1", "kolona3")] # prvi i treci red, prva i treca kolona

##   kolona1 kolona3
## 1       1       7
## 3       3       9

Korisna stvar je da ako koristimo vektore brojeva za indeksiranje, ukoliko stavimo znak - ispred, to znači da izuzimamo te redove/kolone.

df[, -1] # sve bez prve kolone

##   kolona2 kolona3
## 1    prvi       7
## 2   drugi       8
## 3   treci       9

df[-2, ] # sve bez druge vrste

##   kolona1 kolona2 kolona3
## 1       1    prvi       7
## 3       3   treci       9

df[-c(1,2), c("kolona2", "kolona3")] # druga i treca kolona, bez prve i druge vrste

##   kolona2 kolona3
## 3   treci       9

Učitavanje eksternih podataka

kredit <- read.csv("credit_data.csv")
kredit[1:10,] # ispisujemo prvih 10 redova

##    clientid   income      age      loan default
## 1         1 66155.93 59.01702 8106.5321       0
## 2         2 34415.15 48.11715 6564.7450       0
## 3         3 57317.17 63.10805 8020.9533       0
## 4         4 42709.53 45.75197 6103.6423       0
## 5         5 66952.69 18.58434 8770.0992       1
## 6         6 24904.06 57.47161   15.4986       0
## 7         7 48430.36 26.80913 5722.5820       0
## 8         8 24500.14 32.89755 2971.0033       1
## 9         9 40654.89 55.49685 4755.8253       0
## 10       10 25075.87 39.77638 1409.2304       0

Paketi

U R-u se nalazi veliki broj paketa sa korisnim funkcijama koje olakšavaju različite statističke procedure, ali i sadrže neke baze podataka koje nam mogu služiti za izučavanje tih procedure.

# primer kako pristupamo paketu
#install.packages("ISLR")
library(ISLR)

## Warning: package 'ISLR' was built under R version 4.0.5

Smarket[1:10,] # primer baze iz ovog paketa

##    Year   Lag1   Lag2   Lag3   Lag4   Lag5 Volume  Today Direction
## 1  2001  0.381 -0.192 -2.624 -1.055  5.010 1.1913  0.959        Up
## 2  2001  0.959  0.381 -0.192 -2.624 -1.055 1.2965  1.032        Up
## 3  2001  1.032  0.959  0.381 -0.192 -2.624 1.4112 -0.623      Down
## 4  2001 -0.623  1.032  0.959  0.381 -0.192 1.2760  0.614        Up
## 5  2001  0.614 -0.623  1.032  0.959  0.381 1.2057  0.213        Up
## 6  2001  0.213  0.614 -0.623  1.032  0.959 1.3491  1.392        Up
## 7  2001  1.392  0.213  0.614 -0.623  1.032 1.4450 -0.403      Down
## 8  2001 -0.403  1.392  0.213  0.614 -0.623 1.4078  0.027        Up
## 9  2001  0.027 -0.403  1.392  0.213  0.614 1.1640  1.303        Up
## 10 2001  1.303  0.027 -0.403  1.392  0.213 1.2326  0.287        Up

Grafički prikaz podataka

Grafičke mogućnosti su važna i izuzetno raznovrsna komponenta okruženja programskog jezika R. Obezbeđene su funkcije za generisanje različitih statističkih grafika podataka, kao i okruženje za modifikovanje detalja na graficima.

Funkcija `plot()`

Ako su x i y vektori, plot(x, y) za rezultat ima tačkasti grafik (scatterplot) y-а u zavisnosti od x-а.

plot(cbind(trees$Girth, trees$Height), xlab="Obim", ylab="Visina")

Pie chart

share = c(.2090,.1980,.1210,.0930,.3780)
names(share)<-("brand"=c("Samsung","Apple","Huawei","Xiaomi","Other"))
share

## Samsung   Apple  Huawei  Xiaomi   Other 
##   0.209   0.198   0.121   0.093   0.378

pie(share, main="")

#install.packages("plotrix") (instaliranje biblioteke)
library(plotrix)
pie3D(share, explode = 0.2, main = "3D pitica", labels= names(share), labelcex = 1)

Bar chart

Bar plotovi nam služe za grafički prikaz kategoričkih promenljivih. Na njima se prikazuje koliko postoji podataka u bazi iz odgovarajuće kategorije.

#install.packages("ggplot2")
#install.packages("gapminder")
library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.0.5

library(gapminder)

## Warning: package 'gapminder' was built under R version 4.0.5

# napravimo kratak spisak drzava koj cemo gledati
countries <- c("Bosnia and Herzegovina", "Croatia", "Montenegro", "Serbia", "Slovenia")
gapminder2007 <- gapminder[gapminder$year == 2007, ]
gapminder_small <- gapminder2007[gapminder2007$country %in% countries, ]

ggplot(gapminder_small, aes(x = country, y = pop)) +
  geom_col(fill = "coral", color = "pink")

Tabelarni prikaz

#The data was extracted from the 1974 Motor Trend US magazine, and comprises fuel consumption and 10 aspects of automobile design and performance for 32 automobiles (1973–74 models).

#Usage
#mtcars
#Format
#A data frame with 32 observations on 11 (numeric) variables.

#[, 1]  mpg Miles/(US) gallon
#[, 2]  cyl Number of cylinders
#[, 3]  disp    Displacement (cu.in.)
#[, 4]  hp  Gross horsepower
#[, 5]  drat    Rear axle ratio
#[, 6]  wt  Weight (1000 lbs)
#[, 7]  qsec    1/4 mile time
#[, 8]  vs  Engine (0 = V-shaped, 1 = straight)
#[, 9]  am  Transmission (0 = automatic, 1 = manual)
#[,10]  gear    Number of forward gears
#[,11]  carb    Number of carburetors

mtcars

##                      mpg cyl  disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Mazda RX4           21.0   6 160.0 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
## Mazda RX4 Wag       21.0   6 160.0 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
## Datsun 710          22.8   4 108.0  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Hornet 4 Drive      21.4   6 258.0 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
## Hornet Sportabout   18.7   8 360.0 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
## Valiant             18.1   6 225.0 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1
## Duster 360          14.3   8 360.0 245 3.21 3.570 15.84  0  0    3    4
## Merc 240D           24.4   4 146.7  62 3.69 3.190 20.00  1  0    4    2
## Merc 230            22.8   4 140.8  95 3.92 3.150 22.90  1  0    4    2
## Merc 280            19.2   6 167.6 123 3.92 3.440 18.30  1  0    4    4
## Merc 280C           17.8   6 167.6 123 3.92 3.440 18.90  1  0    4    4
## Merc 450SE          16.4   8 275.8 180 3.07 4.070 17.40  0  0    3    3
## Merc 450SL          17.3   8 275.8 180 3.07 3.730 17.60  0  0    3    3
## Merc 450SLC         15.2   8 275.8 180 3.07 3.780 18.00  0  0    3    3
## Cadillac Fleetwood  10.4   8 472.0 205 2.93 5.250 17.98  0  0    3    4
## Lincoln Continental 10.4   8 460.0 215 3.00 5.424 17.82  0  0    3    4
## Chrysler Imperial   14.7   8 440.0 230 3.23 5.345 17.42  0  0    3    4
## Fiat 128            32.4   4  78.7  66 4.08 2.200 19.47  1  1    4    1
## Honda Civic         30.4   4  75.7  52 4.93 1.615 18.52  1  1    4    2
## Toyota Corolla      33.9   4  71.1  65 4.22 1.835 19.90  1  1    4    1
## Toyota Corona       21.5   4 120.1  97 3.70 2.465 20.01  1  0    3    1
## Dodge Challenger    15.5   8 318.0 150 2.76 3.520 16.87  0  0    3    2
## AMC Javelin         15.2   8 304.0 150 3.15 3.435 17.30  0  0    3    2
## Camaro Z28          13.3   8 350.0 245 3.73 3.840 15.41  0  0    3    4
## Pontiac Firebird    19.2   8 400.0 175 3.08 3.845 17.05  0  0    3    2
## Fiat X1-9           27.3   4  79.0  66 4.08 1.935 18.90  1  1    4    1
## Porsche 914-2       26.0   4 120.3  91 4.43 2.140 16.70  0  1    5    2
## Lotus Europa        30.4   4  95.1 113 3.77 1.513 16.90  1  1    5    2
## Ford Pantera L      15.8   8 351.0 264 4.22 3.170 14.50  0  1    5    4
## Ferrari Dino        19.7   6 145.0 175 3.62 2.770 15.50  0  1    5    6
## Maserati Bora       15.0   8 301.0 335 3.54 3.570 14.60  0  1    5    8
## Volvo 142E          21.4   4 121.0 109 4.11 2.780 18.60  1  1    4    2

mtcars$cyl <- as.factor(mtcars$cyl)
mtcars$vs <- as.factor(mtcars$vs)
mtcars$am <- as.factor(mtcars$am)
mtcars$gear <- as.factor(mtcars$gear)
mtcars$carb <- as.factor(mtcars$carb)

table(mtcars$carb)

## 
##  1  2  3  4  6  8 
##  7 10  3 10  1  1

table(mtcars$am)

## 
##  0  1 
## 19 13

table(mtcars$am, mtcars$cyl)

##    
##      4  6  8
##   0  3  4 12
##   1  8  3  2

table(mtcars$carb, mtcars$cyl)

##    
##     4 6 8
##   1 5 2 0
##   2 6 0 4
##   3 0 0 3
##   4 0 4 6
##   6 0 1 0
##   8 0 0 1

Deskriptivne statistike

Statistike poretka

\[X_{(1)} \leq X_{(2)} \dots \leq X_{(n)} \] \[ X_{(1)}=min(X_1,..., X_n)\] \[X_{(n)}=max(X_1,..., X_n).\] Uzorački raspon

\[ R=X_{(n)}-X_{(1)}\] Uzoračka sredina

\[ \overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i \] Uzoračka disperzija

\[\overline{S}_n^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X}_n)^2 \] Popravljena uzoračka disperzija

\[\widetilde{S}_n^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X}_n)^2 \]

Medijana

\[ \widehat{m}_e=\begin{cases} X_{(k+1)}& n=2k+1, \\ \frac{X_{(k)}+X_{(k+1)}}{2} & n=2k. \end{cases} \]

Histogram

Histogram je grafička reprezentacija raspodele niza datih numeričkih podataka. Koristi se za ocenu funkcije gustine raspodele.

Histogram se može dobiti na sledeći način:

Dobijeni podaci se sortiraju.
Odabere se dužina podeoka d.
Podeli se ceo interval (raspon podataka) na podintervale duzine $d$.
Na x-osi se označe ti dobijeni intervali, a odgovarajuća vrednost na y-osi je broj elemenata iz uzorka koji su upali u taj interval.

U R-u postoji ugradjena funkcija “hist()”. Dva važna argumenta funkcije su: -x- vektor čiji histogram želimo da prikažemo -breaks - tu predajemo vektor sa krajevima svakog podintervala.

Kad pravimo histogram prvo treba da odaberemo koliko ćemo kategorija (odnosno tih podintervala) da imamo. Taj broj dobijamo po formuli: \[ k=[\log_2(N)]+1 \]

$k$-broj kategorija
$N$-obim uzorka (veličina tog vektora)

Odavde možemo naći širinu svakog intervala po formuli \[ d=\frac{R}{k} \]

gdje je R- raspon uzorka (razlika najvećeg i najmanjeg elementa uzorka)

Zadaci

Tvrdi se da je prosečna minimalna cena bezolovnog benzina u Americi bila 1.35$. U reklamne svrhe kompanija želi da pokaže kako je njihova cena niža. Da bi potkrepili svoju tvrdnju, statističari iz firme su sakupili sledeće podatke na osnovu slučajnog uzorka:

cene<-c(1.22, 1.37, 1.27, 1.20, 1.42, 1.41, 1.22, 1.24,
  1.28, 1.42, 1.48, 1.32, 1.40, 1.26, 1.39, 1.45,
  1.44, 1.49, 1.47, 1.47, 1.24, 1.34, 1.27, 1.35,
  1.34, 1.45, 1.49, 1.45, 1.23, 1.20, 1.42, 1.34,
  1.43, 1.21, 1.49, 1.36, 1.24, 1.20, 1.45,
  1.23, 1.25, 1.24, 1.35, 1.23, 1.39, 1.38,
  1.46, 1.48, 1.26, 1.36, 1.22, 1.46, 1.39,
  1.22, 1.29, 1.47, 1.24, 1.35, 1.21, 1.21)

Napisati program u R-u koji računa uzoračku sredinu i medijanu, i iscrtava histogram nad zadatim podacima.

mean(cene)

## [1] 1.340167

median(cene)

## [1] 1.35

# Napomena: Naći ove statistike bez korišćenja ugrađenih funkcija

# Pravimo histogram:
n <- length(cene)
k <- floor(log(n, base = 2)) + 1
d <- (max(cene)-min(cene)) / k  # ili diff(range(cene))
k

## [1] 6

## [1] 0.04833333

# Sortiramo vektor:

cene <- sort(cene)

# Pravimo podelu na intervale:

podela <- cene[1] + 0:k * d
podela

## [1] 1.200000 1.248333 1.296667 1.345000 1.393333 1.441667 1.490000

hist(cene, breaks = podela, main = "")

# Hoćemo da uporedimo histogram koji se dobija ako ne zadamo sami podele:

par(mfrow = c(1, 2))
hist(cene, breaks = podela, main = "")
hist(cene, main = "")

Prilikom proučavanja rasta dece, posmatra se obim glave deteta pri rođenju izraženo u cm. Dobijeni su sledeći podaci:

obim<-c(33.1, 33.7, 33.7, 33.8, 33.4,
  33.9, 33.6, 33.4, 34.1, 34.2,
  34.5, 34.2, 34.6, 34.9, 34.8,
  34.0, 34.5, 34.2, 34.2, 34.7,
  34.7, 34.6, 34.3, 34.3, 34.2,
  35.1, 36.0, 35.8, 35.2, 35.6,
  36.1, 35.1, 35.3, 35.2)

Napisati program u R-u koji iscrtava histogram nad zadatim podacima.

n <- length(obim)
k <- floor(log(n, 2)) + 1
d <- diff(range(obim)) / k
podela <- sort(obim)[1] + 0:k * d
hist(obim, breaks = podela, main = "")

Dati su sledeći rezultati ispita. Nacrtati histogram datih podataka i izračunati vrednosti

rezultati<-c(28, 27, 26, 25, 24, 23, 21, 21, 20, 19, 19, 18, 18, 18, 17, 17, 17, 17,
  16, 16, 16, 15.5, 15, 15, 15, 15, 14, 13, 13, 13, 13, 12, 12, 11, 11, 
  11, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 0, 0, 25, 23, 21, 21, 21, 
  21, 20, 19.5, 19, 19, 18, 18, 17, 17, 17, 17, 16, 15, 15, 15, 14, 14, 
  14, 13.5, 13, 13, 12, 12, 10, 10, 9, 9, 9, 9, 8,  7, 7, 7, 7, 5, 5, 5, 
  5, 4, 3, 2)

k <- floor(log(length(rezultati) , 2)) + 1
d <- diff(range(rezultati)) / k
podela <- sort(rezultati)[1] + 0:k * d
hist(rezultati, breaks = podela, main = "Rezultati")

# Na osnovu oblika histograma mozemo pretpostaviti da ovi rezultati imaju normalnu raspodelu.
# Podsetimo se iz prvog semestra da mozemo skalirati podatke da dobijemo histogram gustine, koji ima zbir povrsina pravougaonika 1. Na taj histogram mozemo dodati krivu gustine normalne raspodele simetricnu u odnosu na srednju vrednost ovog uzorka. (U nastavku kursa detaljnije cemo se baviti ocenjivanjem nepoznatih parametara.)

hist(rezultati, breaks = podela, main = "Rezultati", probability = TRUE, ylim = c(0,0.07))
curve(dnorm(x,mean = mean(rezultati), sd= sd(rezultati)),lwd =2, col ='coral1', add = T)

# Uzoracka sredina
mean(rezultati)

## [1] 13.77604

# Popravljena uzoracka disperzija 
var(rezultati)

## [1] 38.12563

# Standardno odstupanje
sd(rezultati)

## [1] 6.174596

# Medijana
median(rezultati)

## [1] 14

# Kvantili
quantile(rezultati)

##   0%  25%  50%  75% 100% 
##    0    9   14   18   28

# pokazuje koje vrednosti statistika poretka imamo na 0%, 25%, 50% (medijana)
# 75% i 100%.

Zadaci za rad na času

Učitati bazu Default iz paketa ISLR.

Tabelarno prikazati faktorske promenljive default i student.
Izdvojiti promenljivu balance koja prikazuje prosečan iznos koji korisniku ostaje na kreditnoj kartici nakon uplate i izračunati vrednosti dekriptivnih statistika.
Izdvojiti promenljivu income i nacrtati njen histogram. Sta možemo zaključiti o raspodeli podataka? Izračunati uzoračku srednju vrednost ove promenljive i njenu medijanu. Interpretirati dobijene rezultate.

Statistika za automatsku analizu podataka

prvi čas

Uvod u R

Deklaracija promenljive

Elementarne funkcije: exp(), cos(), sin(), log(), …

Aritmetički operatori:+,-,*,/

Logički operatori: <=,>=, ==, !=, <,>, & , |, !

Vektori

for petlja

if/else

Operacije sa vektorima

Aritmetičke operacije

Logičke operacije

Vektori

Sortiranje

Izmene u vektoru

Matrice

Funkcije

Faktori

Dataframe

Učitavanje eksternih podataka

Paketi

Grafički prikaz podataka

Funkcija plot()

Pie chart

Bar chart

Tabelarni prikaz

Deskriptivne statistike

Histogram

Zadaci

Zadaci za rad na času

Elementarne funkcije: `exp()`, `cos()`, `sin()`, `log()`, …

Aritmetički operatori:`+`,`-`,`*`,`/`

Logički operatori: `<=`,`>=`, `==`, `!=`, `<`,`>`, `&` , `|`, `!`

`for` petlja

`if/else`

Funkcija `plot()`