## Zakljucivanje o procentu


# 1. zadatak
#a)
p_kapa = 200/1000

#b)
200/1000 * 20000

#v)
# Postoje 3 varijante za racunanje intervala poverenja:

# 1. Rucni, analogan standardnom intervalu za srednju vrednost
# Vrsi se aproksimacija binomne normalnom raspodelom. Radi dobro za veliko
# n i kad p nije blizu 0 ili 1. Ovaj interval je najmanje precizan, ali se
# koristi pri izvodjenju potrebne velicine uzorku za 2. zadatak.
p_kapa = 200/1000
n = 1000
c = qnorm(0.95)
interval_1 = c(p_kapa - c*sqrt(p_kapa*(1-p_kapa)/n), p_kapa + c*sqrt(p_kapa*(1-p_kapa)/n))
interval_1

# 2. Preko prop.test() - Takodje vrsi aproksimaciju binomne normalnom,
# ali radi nesto malo pametnije. Radi za dovoljno velike vrednosti n, ali
# radi bolje i kad je p blizu 0 ili 1.
prop.test(x = 200, n = 1000)
# (0.1759021, 0.2264401)

# 3. Preko binom.test() - Ne koristi aproksimaciju, vec tacnu binomnu raspodelu.
# Zbog toga je najprecizniji, ali za razliku od prop.test(), ne moze da se
# koristi kad zelimo da poredimo proporciju za 2 populacije.
binom.test(x = 200, n = 1000)
# (0.1756206, 0.2261594)

# Vidimo da se u ovom zadatku dobijaju jako slicni intervali za ove 3 metode.
# Razlog je sto je obim uzorka veliki, a procenat nije blizu 0 ili 1.


# 2. zadatak
c = qnorm(0.975)
n = c^2/(2*(0.03))^2
n
# Potrebno je da uzmemo bar uzorak obima 1068 kako bismo bili 95% sigurni
# da ce ocenjena proporcija odstupati za manje od 0.03 od stvarne.


# 3. zadatak
# Testiracemo H1: p > 0.85 protiv H0: p <= 0.85
# Slicno kao i kad smo radili varTest, prosledjujemo funkciji referentnu
# vrednost za testiranje (0.85), i tip alternative.
binom.test(x = 123, n = 139, p = 0.85, alternative = 'greater')
# P-vrednost je 0.15, sto je naravno vece od 0.1, pa ne prihvatamo 
# alternativnu hipotezu da je p > 0.85.


# 4. zadatak
#a)
pM_ocena = 35/50
pZ_ocena = 45/75
pM_ocena
pZ_ocena

#b)
pM_ocena - pZ_ocena
# Veci procenat muskaraca je za.

#v)
# Prop.test ima i podrsku za rad sa 2 uzorka i tada pravi interval poverenja,
# ili testira hipoteze vezane za razliku procenata 2 populacije.
prop.test(x = c(35, 45), n = c(50, 75), conf.level = 0.95)

#g)
# Interval iz dela pod v) sadrzi negativne brojeve, pa ne mozemo sa sigurnoscu
# da kazemo da muska populacija favorizuje predlog.
# Alternativno, mogli smo isti rezultat da dobijemo statistickim testom:
prop.test(x = c(35, 45), n = c(50, 75), alternative = 'greater')


# 5. zadatak
# Alternativna hipoteza je da je verovatnoca dobijanja prehlada veca za ljude
# koji ne jedu pomorandze, tj. H1: p1 > p2, H0: p1 <= p2
prop.test(x = c(48, 43), n = c(100, 100), alternative = 'greater')
# Visoka p-vrednost -> Ne prihvatamo alternativnu hipotezu.