## Porednjenje disperzija i ocekivanja dve normalne populacije.


# Ugradjena funkcija za zakljucivanje o disperzije dve grupe je var.test(), ali
# ona nazalost radi samo ako joj prosledimo cele uzorke.
# Pravimo funkciju koja pravi intervale poverenja i vrsi testove za poredjenje
# disperziji dve grupe kada su dostupni samo podaci o obimima uzoraka i uzorackim
# disperzijama. Kod ce biti dostupan na testu i nije bitno znati logiku iza njega.
# Funkcija kao ulaz prima standardne devijacije uzoraka kao vektor, i obime
# uzoraka kao vektor, kao i ostale parametre funkcije var.test() koja radi za
# konkretne uzorke.
varsum.test = function(s, n, ratio = 1, alternative = 'two.sided', conf.level = 0.95)
{
  x = rnorm(n[1])
  x = x/sd(x) * s[1]
  y = rnorm(n[2])
  y = y/sd(y) * s[2]
  var.test(x, y, ratio, alternative, conf.level)
}


#1. zadatak
# Alternativna hipoteza je da su disperzije razlicite. Posto je u pri ovom
# testiranju test statistika zapravo kolicnik uzorackih disperzija, to da su
# disperzije iste znaci da je kolicnik 1, zato prosledjujemo parametar ratio = 1.
varsum.test(c(sqrt(289), sqrt(225)), n = c(121, 121), ratio = 1, alternative = 'two.sided')
# P-vrednost je 0.1718, sto je vece od podrazumevane znacajnosti od 5%, pa ne
# prihvatamo da su razlicite disperzije.


#2. zadatak
mantili1 = c(17.12, 16.02, 15.28, 20.77, 15.23, 25.45, 30.04, 10.06, 17.78, 23.13)
mantili2 = c(16.87, 18.40, 17.24, 16.06, 26.91, 21.66, 19.83, 20.10, 14.74, 15.59, 20.77, 20.61)

#a)
# Ocena kolicnika disperzija je naravno kolicnik uzorackih disperzija.
ocena_kolicnika = var(mantili1)/var(mantili2)
ocena_kolicnika

#b)
# var.test daje interval za kolicnik:
var.test(mantili1, mantili2, conf.level = 0.9)
# Interval = (1.042718, 9.369332)


# 3. zadatak
# Kada hocemo da poredimo srednje vrednosti dve normalne populacije, sto je
# zapravo najcesci slucaj u istrazivanjima, koristimo t.test kao i kad smo
# imali samo jednu populaciju.
# Ipak, ovde postupak nije pravolinijski. Matematika iza testa se razlikuje u
# slucajevima kada je disperzija obe populacije jednaka i kada nije. Ako ovo
# nije eksplicitno dato u zadatku, moramo i da testiramo jednakost disperzije.
plastika = c(1.80, 1.29, 1.13, 2.92, 2.20, 1.25, 2.61, 1.60, 2.06)
novine = c(2.57, 1.59, 1.78, 1.37, 1.22, 1.34, 1.43, 1.06, 1.44, 1.12)

#a)
mean(plastika) - mean(novine)

#b)
s1_2 = var(plastika)
s2_2 = var(novine)
s1_2
s2_2

# Ovde bi prirodno bilo da testiramo sa alternativnom hipotezom da su disperzije
# jednake, jer je to ono sto pokusavamo da dokazemo. Ipak, jednakost ne moze
# da bude alternativna hipoteza (ne mozemo da dokazemo da su dve stvari bas
# skroz jednake). Zato uzimamo da je jednakost nulta, a nejednakost alternativna
# hipoteza, ali uzimamo vecu nego standardnu znacajnost.
var.test(plastika, novine, ratio = 1)
# P-vrednost je 0.2958, pa prihvatamo jednakost.

# Napomena: Ovde se u zadatku eksplicitno trazilo da testiramo jednakost
# disperzija, ali ovaj korak bi smo uradili, i to sa znacajnoscu 20%, cak i da 
# nije. Potreban nam je za deo pod v).

#v)
# Kada t.test pozovemo sa dva uzorka, on automatski testira, odnosno pravi
# interval poverenja za mi1 - mi2.
# Kljucno je da dodamo parametar var.equal = TRUE kada dobijemo da su disperzije
# jednake.
t.test(plastika, novine, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95)
# Posto interval poverenja obuhvata i pozitivne i negativne vrednosti, ne mozemo
# da kazemo da su razlike u srednjim vrednostima znacajne.
# Alternativno smo za ovo pitanje mogli da testiramo sa alternativnom hipotezom
# da su mi1 i mi2 razlicite, zakljucak bi bio isti.