#4 . zadatak

vrednosti = c(0,1,2,3,4,5)
verovatnoce = c(0.22, 0.24, 0.3, 0.15, 0.08, 0.01)

ER = sum(vrednosti * verovatnoce) #ocekivanje

ER2 = sum(vrednosti^2 * verovatnoce) #ocekivanje kvadrata

DR = sum(((vrednosti - ER)^2) * verovatnoce) #disperzija po definiciji

sdR = sqrt(DR) #standardno odstupanje kao koren disperzije

# Alternativno racunanje disperzije
DR = ER2 - (ER)^2

## Binomna raspodela

# Funkcija dbinom moze da se koristi da se racuna zakon raspodele binomne
# raspodele.
# Prvi argument funkcije jeste tacka u kojoj racunamo zakon raspodele, a ostali
# su parametri same raspodele.
# Verovatnoca da iz 10 nezavisnih ponavljanja eksperimenta, gde eksperiment ima
# verovatnocu uspeha 0.2, imamo 0 uspesnih:
dbinom(0, size = 10, prob = 0.2)

# Kao tacku u kojoj racunamo zakon raspodele mozemo i da prosledimo vektor (niz
# vrednosti). U ovom slucaju se zakon raspodele racuna u svakoj tacki vektora.
# Ovako mozemo da izracunamo verovatnoce za sve moguce vrednosti binomne
# raspodele:
verovatnoce = dbinom(0:10, size = 10, prob = 0.2)


# Prikaz verovatnoca:
barplot(verovatnoce)

# Probajte da pokrenete kod za razlicite vrednosti p: Za p < 0.5 je raspodela
# pomerena udesno, za p > 0.5 ulevo, a za p = 0.5 je savrseno simetricna.


## Poasonova raspodela

# Slicno kao i za binomnu, sa dpois mozemo da racunamo zakon raspodele za
# Poasonovu raspodelu

# Probajmo sa razlicitim vrednostima lambda:
# Poasonova raspodela je inace pomerena udesno, sto je jako primetno za male
# vrednosti lambda, dok za vece vrednosti dobija jako simetrican oblik.
lambda = 20
k = 0:100
zakon_raspodele = dpois(k, lambda)
barplot(zakon_raspodele)


# 8. zadatak

lambda = 14

#v)
# Racunamo sumu svih verovatnoce da je {X = k} za k od 0 do 7.
k = 0:7
p = sum(dpois(k, lambda))
p

#g)
k = 0:12
p = 1 - sum(dpois(k, lambda))
p

#d)
k = 14:18
p = sum(dpois(k, lambda))
p

#dj)
k = 0:23
p = 1 - sum(dpois(k, lambda))
p

# Geometrijska raspodela

# Slicno kao i za ostale raspodele, zakon raspodele dobijamo funkcijom dgeom

# Zakon raspodele geometrijske raspodele uvek ima eksponencijalno opadajuci
# oblik, parameter p samo odredjuje koliko ce brzo da opada.

p = 0.1
k = 0:50
zakon_raspodele = dgeom(k, p)
barplot(zakon_raspodele)
# Posto je zakon raspodele opadajuci, to znaci da je moda uvek jednaka 1,
# odnosno da se najcesce javljaju vrednosti jednake 1. Sa druge strane, za npr.
# p = 0.1, ocekivanje je jednako 10. Ocekujemo 10, ali se najcesce javlja 1.

# 11. zadatak

# Geometrijska raspodela treba da modelira broj ponavljanja eksperimenta do
# prvog uspeha, sto znaci da ako uspemo iz treceg pokusaja, X = 3. U R-u
# ugradjena geometrijska raspodela broji broj neuspeha do prvog uspeha, odnosno
# ako uspemo iz treceg pokusaja, X = 2.
# Zbog toga ovde prosledjujemo k od 0 do 9, umesto od 1 do 10.
k = 0:9
p = sum(dgeom(k, 0.01))
p
# alternativno
p = 1 - (0.99)^10

 


# 9. zadatak
n = 100
p = 0.03
k = 2:6
p_tacna = sum(dbinom(k, n, p))
p_aproksimacija = sum(dpois(k, n*p))
# Aproksimacija binomne raspodele Poasonov je dosta precizna u ovom slucaju.