#4 . zadatak

vrednosti = c(0,1,2,3,4,5)
verovatnoce = c(0.22, 0.24, 0.3, 0.15, 0.08, 0.01)

ER = sum(vrednosti * verovatnoce) #ocekivanje

ER2 = sum(vrednosti^2 * verovatnoce) #ocekivanje kvadrata

DR = sum((vrednosti - ER)^2 * verovatnoce) #disperzija po definiciji

sdR = sqrt(DR) #standardno odstupanje kao koren disperzije

# Alternativno racunanje disperzije
DR = ER2 - (ER)^2


## Binomna raspodela

# Funkcija dbinom moze da se koristi da se racuna zakon raspodele binomne
# raspodele.
# Prvi argument funkcije jeste tacka u kojoj racunamo zakon raspodele, a ostali
# su parametri same raspodele.
# Verovatnoca da iz 10 nezavisnih ponavljanja eksperimenta, gde eksperiment ima
# verovatnocu uspeha 0.2, imamo 0 uspesnih:
dbinom(0, size = 10, prob = 0.2)

# Sa znakom pitanju pozivamo pomoc, gde mozemo da videmo zapise funkcije, to
# jest sta sve treba da prosledimo funkciji:
?dbinom

# Kao tacku u kojoj racunamo zakon raspodele mozemo i da prosledimo vektor (niz
# vrednosti). U ovom slucaju se zakon raspodele racuna u svakoj tacki vektora.
# Ovako mozemo da izracunamo verovatnoce za sve moguce vrednosti binomne
# raspodele:
verovatnoce = dbinom(0:10, size = 10, prob = 0.2)

# Prikaz verovatnoca:
barplot(verovatnoce)

# Probajte da pokrenete kod za razlicite vrednosti p: Za p < 0.5 je raspodela
# pomerena udesno, za p > 0.5 ulevo, a za p = 0.5 je savrseno simetricna.

# 6. dj)
# Racunamo verovatnoce da X bude 0,1,2,3:
verovatnoce = dbinom(0:3, size = 10, prob = 0.2)

# Sumiranjem dobijamo verovatnocu da X bude manje ili jednako 3:
sum(verovatnoce)


## Geometrijska raspodela

# Slicno kao i za binomnu, sa dgeom mozemo da racunamo zakon raspodele
# za geometrijsku raspodelu. Prikazacemo za p = 0.2.
zakon_raspodele = dgeom(0:20, 0.2)
barplot(zakon_raspodele)

# 7. zadatak
# Broj neuspesnih bacanja do prve 5/6 modeliramo geometrijskom raspodelom sa 
# parametrom p = 1/6.

#a)
dgeom(1, 2/6)
(4/6) * (2/6) # isto

#b)
1 - sum(dgeom(0:9, 2/6))
(4/6)^10 # isto

#v)
1/(2/6)
# Ocekujemo 3 bacanja u proseku.

# 8. zadatak
# U pitanju je geometrijska sa parametrom p = 0.1

#a)
(0.9)^5

#b)
(0.9)^20
# Verovatnoca je oko 12%, sto nije toliko retko, pa nemamo razloga za sumnju.


## Puasonova raspodela

# Slicno kao i za binomnu, sa dpois mozemo da racunamo zakon raspodele za
# Puasonovu raspodelu. Prikazacemo raspodelu za lambda = 10.
zakon_raspodele = dpois(0:50, 10)
barplot(zakon_raspodele)


# 10. zadatak
# Intenzitet Puasnovove raspodele je 14.

#v)
# Racunamo sumu svih verovatnoce da je {X = k} za k od 0 do 7.
sum(dpois(0:7, 14))

#g)
1 - sum(dpois(0:12, 14))

#d)
sum(dpois(14:18, 14))

#dj)
1 - sum(dpois(0:23, 14))
# Oko 1%, sto je dosta retko. Imamo razloga za sumnju u ispravnost masine.



## Neprekidne raspodele

# 3. zadatak

m = 106
sigma = 14

#a)
a = 120
# Pri racunanju verovatnoca cemo da standardizujemo nasu raspodelu, ovo je
# cesta praksa kod normalne raspodele.
# pnorm vraca verovatnocu da je standardna normalna raspodela manja od unete
# vrednosti.
pnorm((a-m)/sigma)
pnorm((120 - 106)/14)
pnorm(1)

#b)
pnorm((120-106)/14) - pnorm((90-106)/14)

#v)
pnorm((110-106)/14) - pnorm((106-106)/14)

#g)
1 - pnorm((121 - 106)/14)

#d)
# Kada nas zanima inverzan problem, gde znamo verovatnocu, a trazi se vrednost,
# mozemo da koristimo funkciju qnorm. 
y = qnorm(0.25)
y

# Posto qnorm odgovara standardnoj normalnoj raspodeli, moramo vrednost da
# 'odstandardizujemo', kako bi odgovarala nasoj raspodeli.
x = y*14 + 106
x

# 4. zadatak

#a)
sum(dbinom(0:5, 20, 0.5))
#alternativno
pbinom(5, 20, 0.5)

#b)
# Posto je n*p>=10, aproksimacija binomne normalnom raspodelom bi trebalo da
# je dobra.
# Normalna raspodela kojoj aproksimiramo treba da ima isto ocekivanje i
# disperziju kao i binomna, sto je u ovom slucaju 10(= n*p) i 5(= n*p*(1-p))
# Kada koristimo normalnu aproksimaciju, potrebno je da izvrsimo korekciju
# usled nedostatka neprekidnosti, time sto u X<=5 ubrajamo i sve vrednosti
# koje bi zaokruzivanjem bile manje od 5, pa uzimamo verovatnocu da je
# odgovarajuca normalna raspodela manja od 5.5:
pnorm((5.5-10)/sqrt(5))

#v)
dbinom(5, 20, 0.5)

#g)
# Vrsimo korekciju i dogadjaj X=5 pretvaramo u 4.5<=X<=5.5
pnorm((5.5 - 10)/sqrt(5)) - pnorm((4.5 - 10)/sqrt(5))