Математичка основа осигурања

Задатак 10. Депозит од 100000 је стављен у новчани фонд. Фонд плаћа номиналну камату од 12% са кварталним камаћењем. На крају сваких 6 месеци подиже се новац из фонда. Прво подизање је x, друго 2x, треће 3x, итд. Последњим, 6-тим подизањем се у потпуности празни фонд. Одредити x.

Решење:

\[ \delta = 0.12 \implies i = 0.03\] \[\begin{align*} F_1 &= F_0 \cdot 1.03^2 - X, F_0 = 100000\\ F_2 &= F_1 \cdot 1.03^2 - 2X\\ &\vdots \\ F_6 &= F_5 \cdot 1.03^2 - 6X \approx 0 \end{align*}\]

F6<-function(x){
  F<-c()
  F[1]<-100000
  for(j in 1:6){
    F[j+1]<-F[j]*1.03^2-j*x
  }
  return(F[7])
}
uniroot(F6,c(5000,7000))$root
## [1] 6128.049

Задатак 11. Компанија позајмљује 10000. Камата од 350 се плаћа полугодишње, а главница се плаћа на крају 5-те године када се цео зајам отплати. Да би сакупила главницу зајма, компанија прави једнаке полугодишње депозите, први доспева за 6 месеци, у фонд са каматном стопом 6% на годишњем нивоу која се обрачунава полугодишње. Одредити каматну стопу на годишњем нивоу за читаву трансакцију.

Решење:

\[i=0.03\] \[\begin{align*} &Xs_{\overline{10}\!|} = 10000,\; s_{\overline{10}\!|} = \frac{(1+i)^{10}-1}{i} \end{align*}\] \[\begin{align*} \implies X = \frac{10000}{\frac{1.03^{10}-1}{0.03}} = 872.3051 \end{align*}\] \[\begin{align*} 1000 = (350 + X)\left(\frac{1}{1+\frac{j^{(2)}}{2}} + \frac{1}{(1+\frac{j^{(2)}}{2})^2}+ \cdots + \frac{1}{(1+\frac{j^{(2)}}{2})^{10}}\right) \end{align*}\]

stopa<-function(p,X){
  suma<-0
  for(i in 1:10){
    suma<-suma+(350+X)/(1+p/2)^i
  }
  return(suma-10000)
}
j<-uniroot(stopa,c(0,1),10000*0.03/(1.03^10-1))$root
(1+j/2)^2-1
## [1] 0.07798027

Задатак 12. Банка на штедни рачун на почетку године даје 8% на првих 100000 и 9% на износ преко 100000. Почетни депозит је 300000. Једну годину касније почиње подизање износа џ годишње и подиже се док износ се не исцрпи 10-тим подизањем. Одредити x.

Решење:

\(P_0 = 300000\)

након 1. подизања: \(P_1 = P_0 + 0.08 \min\{100000, P_0\} + 0.09 \max\{0,P_0-100000\} - X\)

\(\vdots\)

након 10. подизања: \(P_{10} \approx 0\)

P10<-function(x){
  P0<-300000
  P<-c()
  P[1]<-P0+100000*0.08+200000*0.09-x
  for(j in 2:10){
    P[j]<-P[j-1]+0.08*min(100000,P[j-1])+0.09*max(0,P[j-1]-100000)-x
  }
  return(P[10])
}
uniroot(P10,c(40000,60000))$root
## [1] 45797.09
Модел преостале дужине живота

Задатак 20. На основу таблице смртности одредити

а) број људи који су умрли у току \(x+1-\)ве године \(d_{x}\) и вероватноћу смртности особа старости \({x}\), \(q_{x},\;x=\overline{0,99}\);

Решење:

url<-"tablice.txt"
tablice<-read.table(url)
l<-tablice$V1
d<-c()
for(j in 1:99){
  d[j]<-l[j]-l[j+1]
}
d[100]<-l[100]
d
##   [1] 204200  13126  11935  10943  10150   9555   9058   8661   8458   8257
##  [11]   8250   8243   8333   8422   8608   8794   8979   9164   9348   9628
##  [21]   9906  10184  10558  10929  11300  11669  12133  12690  13245  13892
##  [31]  14537  15274  16102  16925  17933  18935  20120  21390  22745  24277
##  [41]  25891  27676  29631  31751  34125  36656  39339  42350  45590  49141
##  [51]  52990  57125  61621  66547  71793  77423  83494  90058  97156 104655
##  [61] 112669 121213 130291 139892 149993 160626 171728 183212 195044 207229
##  [71] 219527 231945 244248 256358 267971 278929 288972 297809 305218 310810
##  [81] 314330 315514 314041 309770 302506 292168 278802 262539 243675 222592
##  [91] 199815 175973 151749 127890 105096  84006  74894  66067  49289  23732
q<-d/l
1000*q
##   [1]   20.4200000    1.3399620    1.2200141    1.1199767    1.0399808
##   [6]    0.9800356    0.9299708    0.8900391    0.8699523    0.8500178
##  [11]    0.8500197    0.8500210    0.8600329    0.8699666    0.8899541
##  [16]    0.9099939    0.9299838    0.9500283    0.9700251    1.0000503
##  [21]    1.0299558    1.0599520    1.1000440    1.1399527    1.1799951
##  [26]    1.2199672    1.2700268    1.3300201    1.3900376    1.4599685
##  [31]    1.5299880    1.6100189    1.7000348    1.7899694    1.8999753
##  [36]    2.0099546    2.1400440    2.2800056    2.4299783    2.5999684
##  [41]    2.7800494    2.9799985    3.2000382    3.4399985    3.7099670
##  [46]    3.9999694    4.3099831    4.6599527    5.0399498    5.4600292
##  [51]    5.9200129    6.4199791    6.9700083    7.5800256    8.2400300
##  [56]    8.9600434    9.7499911   10.6200459   11.5800548   12.6200034
##  [61]   13.7600371   15.0100372   16.3800484   17.8799505   19.5200016
##  [66]   21.3199393   23.2900537   25.4400338   27.7899519   30.3700584
##  [71]   33.1800488   36.2600575   39.6200146   43.2999494   47.3099527
##  [76]   51.6900270   56.4700972   61.6800790   67.3699629   73.5600051
##  [81]   80.2999554   87.6399051   95.6100035  104.2798958  113.6901668
##  [86]  123.8899252  134.9399526  146.8900033  159.8101494  173.7502761
##  [91]  188.7698852  204.9304993  222.2702326  240.8592511  260.7297734
##  [96]  281.9106810  350.0014020  475.0014379  674.9976034 1000.0000000

б) очекивани целобројни преостали животни век \(e_{x}\), \(x=\overline{0,99}\), ако је \(e_{99}=p_{99}=0\).

Решење:

Из задатка 19. следи да је \(e_x= p_x(1+e_{x+1}) = \frac{l_{x+1}}{l_x}(1+e_{x+1})\) чиме је добијена рекурентна формула.

e<-c()
e[100]<-0
p<-1-q
for(j in 1:100){
  e[100-j]<-p[100-j]*(1+e[100+1-j])
}
e
##   [1] 71.2915942 71.7777151 70.8740236 69.9605965 69.0390386 68.1109126
##   [7] 67.1777292 66.2402607 65.2992697 64.3561264 63.4108768 62.4648231
##  [13] 61.5179647 60.5709177 59.6236583 58.6767679 57.7302120 56.7839501
##  [19] 55.8379478 54.8921646 53.9471145 53.0027349 52.0589749 51.1163051
##  [25] 50.1746418 49.2339176 48.2940547 47.3554674 46.4185350 45.4831484
##  [31] 44.5496494 43.6179143 42.6882532 41.7609483 40.8358332 39.9135679
##  [37] 38.9939540 38.0775817 37.1645972 36.2551263 35.3496342 34.4481819
##  [43] 33.5511443 32.6588539 31.7715881 30.8898986 30.0139535 29.1438730
##  [49] 28.2803179 27.4235713 26.5741269 25.7323829 24.8986517 24.0734136
##  [55] 23.2572844 22.4505174 21.6534937 20.8666938 20.0906777 19.3260546
##  [61] 18.5730667 17.8321985 17.1039393 16.3887681 15.6871333 14.9994424
##  [67] 14.3261960 13.6678101 13.0245963 12.3968953 11.7851821 11.1896347
##  [73] 10.6106371 10.0483738  9.5031601  8.9750807  8.4642901  7.9708764
##  [79]  7.4948387  7.0362399  6.5949225  6.1707319  5.7634829  5.3727849
##  [85]  4.9982855  4.6394336  4.2954917  3.9655416  3.6483357  3.3422754
##  [91]  3.0451153  2.7537010  2.4634720  2.1675167  1.8552237  1.5095339
##  [97]  1.1021535  0.6956244  0.3250024  0.0000000

Задатак 22. Нека је вероватноћа смртности током једне године особе старости \(x\) једнака \(0.10\).

a\()\) Нацртати график интензитета смртности током те године \(\mu_{x+u}\) за \(u\) од 0 до 1 са размаком 0.05 ако је

\(1)\) \(_{u}q_{x}\) линеарно;

\(2)\) \(\mu_{x+u}=const\);

\(3)\) \(_{1-u}q_{x+u}\) линеарно.

Rešenje:

\(1)\; _u q _x = uq _x \implies \mu _{x+u}=-\frac{d}{du}\ln{_up_x}=-\frac{1}{_up_x}\frac{d}{dt}{_up_x}=\frac{1}{1-_uq_x}\frac{d}{dt}{_uq_x}=\frac{1}{1-uq_x}\frac{d}{dt}{uq_x} = \frac{q_x}{1-uq_x}\)

q<-0.1
u<-seq(0,1,0.05)
mi<-q/(1-u*q)

\(2)\;\mu _{x+u} = \mu _x+\frac{1}{2} = -\ln p_x\)

p<-1-q
mi1<--log(p)

\(3)\; _{1-u}q_{x+u} = (1-u)q_x\)

\(\implies\mu _{x+u}=-\frac{d}{du}\ln{_up_x}=-\frac{d}{du}\ln\frac{p_x}{{_{1-u}p_{x+u}}}=-\frac{d}{du}\ln\frac{1-q_x}{1-{_{1-u}q_{x+u}}}=-\frac{d}{du}\ln\frac{1-q_x}{1-{(1-u)q_{x+u}}}=-\frac{1-(1-u)q_x}{1-q_x}\frac{(1-q_x)q_x}{(1-(1-u)q_x)^2}= \frac{q_x}{1-(1-u)q_x}\)

mi2<-q/(1-(1-u)*q)

plot(u, mi, type='l', xlab = "u", ylab = "intenzitet smrtnosti")
lines(u,rep(mi1,length(u)), col="red")
lines(u,mi2, col="blue")

б) Нацртати график вероватноће смртности у току те године при истим условима као у делу a).

Rešenje:

\(1)\; {_uq_x} = uq _x\)

qx<-u*q

\(2)\; _u p_x=e^{-\int_0^u \mu_{x+\frac12}ds}=e^{-\mu_{x+\frac12}u} = (p_x)^u \implies _u q _x =1-{_up_x}=1-(p_x)^u= 1-(1-q_x)^u\)

qx1<-1-(1-q)^u

\(3)\; _up_x = \frac{1-q_x}{1-(1-u)q_x} \implies _uq_x = 1 - \frac{1-q_x}{1-(1-u)q_x}\)

qx2<-1-(1-q)/(1-(1-u)*q)

plot(u,qx,type='l',xlab = "u", ylab = "verovatnoća smrtnosti")
lines(u,qx1, col="red")
lines(u,qx2, col="blue")

Типови животног осигурања

Задатак 24. Одредити једнократну нето премију мешовитог осигурања са осигураном сумом 1 које траје 20 година, издатог особи старости 45 година на основу таблица смртности и \(i=5\%\).

Решење:

\[\begin{align*} A_{45:\overline{20}\!|}&=A^1_{45:\overline{20}\!|}+{A_{20:}}^1_{\overline{45}\!|}= \sum\limits_{k=0}^{19}\upsilon^{k+1}\cdot_{k}p_{x}\cdot q_{x+k} + \upsilon^{20}\cdot{_{20}p_{45}}\\& = \upsilon\cdot q_{45} + \upsilon^2\cdot p_{45}\cdot q_{46}+...+\upsilon^{20}\cdot{_{19}p_{45}}\cdot q_{64} + \upsilon^{20}\cdot{_{20}p_{45}}\\&= \upsilon\cdot \frac{d_{45}}{l_{45}} +\upsilon^2\cdot \frac{l_{46}\cdot d_{46} }{l_{45}\cdot l_{46}} + ... + \upsilon^{20}\cdot \frac{l_{64}\cdot d_{64}}{l_{45}\cdot l_{64}} + \upsilon^{20}\cdot \frac{l_{65}}{l_{45}}\\&= \upsilon\cdot \frac{d_{45}}{l_{45}} +\upsilon^2\cdot \frac{ d_{46} }{l_{45}} + ... + \upsilon^{20}\cdot \frac{d_{64}}{l_{45}} + \upsilon^{20}\cdot \frac{l_{65}}{l_{45}}. \end{align*}\]

l<-tablice$V1
d<-l[1:99]-l[2:100]
d[100]<-l[100]

mesovito<-function(x,i,n){
  v<-1/(1+i)
  A<-0
  for(k in 1:n){
    A<-A+v^k*d[x+k-1]/l[x]
  }
  A<-A+v^20*l[x+n]/l[x]
  return(A)
}

mesovito(45,0.05,20)
## [1] 0.4058669

Задатак 26. За особу старости \(x=35\) одредити дисперзију садашње вредности случајне величине доживотног осигурања од 1000. За вредности каматне стопе \(i\) од \(0\) до \(25\%\) са размаком \(0.5\%\) и ако смртност прати таблице, нацртати график.

Решење:

\[\begin{align*} DZ&={^2A_x}-(A_x)^2,\\ A_x&=EZ=\sum\limits_{k=0}^\infty\upsilon^{k+1}\cdot{_kp_x}\cdot q_{x+k},\\ ^2A_x&=EZ^2=\sum\limits_{k=0}^\infty\upsilon^{2(k+1)}\cdot{_kp_x}\cdot q_{x+k}. \end{align*}\]

dozivotno<-function(x,i){
  v<-1/(1+i)
  A<-0
  for(k in 1:(100-x)){
    A<-A+v^k*d[x+k-1]/l[x]
  }
  return(A)
}
D<-1000^2*(dozivotno(35,0)-dozivotno(35,0)^2)
D
## [1] 2508.049
kamata<-seq(0,0.25,0.005)
v<-1/(1+kamata)
v2<-v^2
kamata1<-1/v2-1
plot(kamata,1000^2*(dozivotno(35,kamata1)-dozivotno(35,kamata)^2),xlab="kamatna stopa",ylab="disparzija")

Задатак 32. Особа старости 30 година потписује полису доживотног осигурања са осигураном сумом 10000 првих 20 година, а 20000 након тога. Осигураник такође добија и повраћај премије (без камате) у случају смрти у првих 20 година. Осигурана сума се исплаћује на крају године смрти, каматна стопа је \(5\%\), а смртност прати таблице. Одредити једнократну нето премију.

Решење: \[\begin{align*} &EZ=10000A_x+10000{_{20|}}A_x+EZ\cdot A^1_{x:\overline{20}\!|}\\ &\implies EZ=\frac{10000A_x+10000(A_x-A^1_{x:\overline{20}\!|})}{1-A^1_{x:\overline{20}\!|}}=\frac{20000A_x-10000A^1_{x:\overline{20}\!|}}{1-A^1_{x:\overline{20}\!|}} \end{align*}\]

privremeno<-function(x,i,n){
  v<-1/(1+i)
  A<-0
  for(k in 1:n){
    A<-A+v^k*d[x+k-1]/l[x]
  }
  return(A)
}
EZ<-(20000*dozivotno(30,0.05)-10000*privremeno(30,0.05,20))/(1-privremeno(30,0.05,20))
EZ
## [1] 2461.501

Задатак 33. а) Извести рекурентну формулу за нето премију доживотног осигурања. Користећи таблице смртности, нацртати график зависности тих нето премија од каматне стопе, ако је \(i=0.25,5,7.5,10\%\).

б) Извести рекурентну формулу за нето премију стандардног растућег доживотног осигурања. Користећи таблице смртности, нацртати график зависности тих нето премија од каматне стопе, ако је \(i=0.25,5,7.5,10\%\).

Решење: а) \[\begin{align*} A_x&=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\upsilon^{k+1}{_kp_x}q_{x+k}=\upsilon q_x+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\upsilon^{k+1}{_kp_x}q_{x+k}\\&=\upsilon q_x+ \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\upsilon^{k+2}{_{k+1}p_x}q_{x+k+1}\\&=\upsilon q_x+ \upsilon\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\upsilon^{k+1}p_x\cdot{_{k}p_{x+1}}\cdot q_{x+k+1}\\&=\upsilon q_x+ \upsilon p_xA_{x+1}. \end{align*}\]

dozivotno_rekurentna<-function(i){
  v<-1/(1+i)
  q<-d/l
  p<-1-q
  A<-c()
  A[100]<-0
  for(j in 1:99){
    A[100-j]<-v*q[100-j]+v*A[100-j+1]*p[100-j]
  }
  return(A)
}
plot(seq(0,99,1),dozivotno_rekurentna(0),type='l',xlab = "x",ylab = "neto premija doživotnog osiguranja")
lines(dozivotno_rekurentna(0.025),col="red")
lines(dozivotno_rekurentna(0.05),col="blue")
lines(dozivotno_rekurentna(0.075),col="green")
lines(dozivotno_rekurentna(0.10),col="purple")

б) \[\begin{align*} (IA)_x&=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}(k+1)\upsilon^{k+1}{_kp_x}q_{x+k}=\upsilon q_x+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}(k+1)\upsilon^{k+1}{_kp_x}q_{x+k}\\&=\upsilon q_x+ \sum\limits_{k=0}^{+\infty}(k+2)\upsilon^{k+2}{_{k+1}p_x}q_{x+k+1}\\&=\upsilon q_x+ \upsilon\left(\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\upsilon^{k+1}p_x\cdot{_{k}p_{x+1}}\cdot q_{x+k+1}+\sum\limits_{k=0}^{+\infty}(k+1)\upsilon^{k+1}p_x\cdot {_{k}p_{x+1}}\cdot q_{x+k+1}\right)\\&=\upsilon q_x+ \upsilon p_x(A_{x+1}+(IA)_{x+1}). \end{align*}\]

rastuce<-function(i){
  v<-1/(1+i)
  q<-d/l
  p<-1-q
  IA<-c()
  IA[100]<-0
  for(j in 1:99){
    IA[100-j]<-v*q[100-j]+v*p[100-j]*(dozivotno(100-j+1,i)+IA[100-j+1])
  }
  return(IA)
}
plot(rastuce(0),type='l',xlab = "x",ylab = "neto premija rastućeg doživotnog osiguranja")
lines(rastuce(0.025),col="red")
lines(rastuce(0.05),col="blue")
lines(rastuce(0.075),col="green")
lines(rastuce(0.10),col="purple")

Задатак 34. Одредити једнократну нето премију растућег 20-то годишњег привременог осигурања ако је \(x=25\), а износи: 1 за прву годину, \(1+g\) за другу, \((1+g)^{2}\) за трећу, итд. Користити \(i=5\%\), \(g=6\%\).

Решење:

\[\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{19}c_k\cdot \upsilon^{k+1}\cdot{_kp_x}\cdot q_{x+k}&=c_0\cdot\upsilon\cdot q_x+c_1\cdot\upsilon^2\cdot p_x\cdot q_{x+1}+\cdots+c_{19}\cdot\upsilon^{20}\cdot{_{19}p_x}\cdot q_{x+19}\\&=c_0\cdot\upsilon\cdot \frac{d_x}{l_x}+c_1\cdot\upsilon^2\cdot \frac{l_{x+1}}{l_x}\cdot \frac{d_{x+1}}{l_{x+1}}+\cdots+c_{19}\cdot\upsilon^{20}\cdot{\frac{l_{x+19}}{l_x}}\cdot \frac{d_{x+19}}{l_{x+19}}\\&=\frac{\upsilon}{l_x}(c_0\cdot d_x+c_1\cdot\upsilon\cdot d_{x+1}+\cdots+c_{19}\cdot\upsilon^{19}\cdot d_{x+19}) \end{align*}\]

rastuce1<-function(x,i,n,g){
  v<-1/(1+i)
  C<-c()
  for(j in 1:n){
    C[j]<-(1+g)^(j-1)
  }
  suma<-0
  for(j in 1:n){
    suma<-suma+C[j]*v^j*d[x+j-1]/l[x]
  }
  return(suma)
}
rastuce1(25,0.05,20,0.06)
## [1] 0.04192611

Задатак 35. Одредити једнократну нето премију стандардног опадајућег доживотног осигурања са осигураном сумом \(100-x\) за особу са \(x\) година. Износ се исплаћује на крају године смрти, \(i=5\%\), а \(x=50\).

Решење: \[(DA)_{50:\overline{50}\!|}=\sum\limits_{k=0}^{49}(50-k)\cdot\upsilon^{k+1}\cdot{_kp_x}\cdot q_{x+k}\]

opadajuce<-function(x,i){
  v<-1/(1+i)
  C<-c()
  for(j in 1:(100-x)){
    C[j]<-100-x-(j-1)
  }
  DA<-0
  for(j in 1:(100-x)){
    DA<-DA+C[j]*v^j*d[x+j-1]/l[x]
  }
  return(DA)
}
opadajuce(50,0.05)
## [1] 8.499761
Осигурање ренте

Задатак 39. Одредити нето премију доживотне ренте плативе унапред у износу 1 годишње издате особи старости \(x\) на основу таблица смртности и \(i=5\%\) користећи рекурзивну формулу. Нацртати график њених вредности за \(i=0,2.5,5,7.5,10\%\) и \(x=\overline{0,99}\).

Решење:

Из задатка 38. следи да је \[\ddot{a}_x=1+\upsilon\cdot p_x\cdot\ddot{a}_{x+1}\]

dozivotna_renta<-function(i){
  v<-1/(1+i)
  a<-c()
  a[100]<-0
  for(j in 1:99){
    a[100-j]<-1+v*a[100-j+1]*l[100-j+1]/l[100-j]
  }
  return(a)
}
dozivotna_renta(0.05)
##   [1] 19.642705 19.982891 19.958780 19.931035 19.899874 19.865528 19.828236
##   [8] 19.788051 19.745027 19.699416 19.651090 19.600306 19.546936 19.491046
##  [15] 19.432504 19.371369 19.307507 19.240776 19.171028 19.098105 19.022033
##  [22] 18.942645 18.859767 18.773407 18.683376 18.589480 18.491513 18.389444
##  [29] 18.283233 18.172655 18.057652 17.937979 17.813558 17.684300 17.549929
##  [36] 17.410505 17.265733 17.115648 16.960100 16.798926 16.632115 16.459479
##  [43] 16.280970 16.096528 15.906072 15.709658 15.507169 15.298463 15.083676
##  [50] 14.862767 14.635817 14.402873 14.163949 13.919163 13.668731 13.412688
##  [57] 13.151158 12.884338 12.612500 12.335976 12.054908 11.769604 11.480405
##  [64] 11.187680 10.891809 10.593179 10.292268  9.989539  9.685413  9.380363
##  [71]  9.074989  8.769718  8.465151  8.161779  7.860214  7.560932  7.264480
##  [78]  6.971379  6.682100  6.397183  6.117009  5.841970  5.572436  5.308614
##  [85]  5.050735  4.798855  4.552850  4.312408  4.076882  3.845233  3.615729
##  [92]  3.385618  3.150541  2.903410  2.632687  2.318938  1.928569  1.499999
##  [99]  1.000000  0.000000
plot(seq(0,99,1),dozivotna_renta(0),type = 'l',xlab = "x",ylab = "neto premija doživotne rente")
lines(seq(0,99,1),dozivotna_renta(0.025), col='blue')
lines(seq(0,99,1),dozivotna_renta(0.05), col='red')
lines(seq(0,99,1),dozivotna_renta(0.075), col='green')
lines(seq(0,99,1),dozivotna_renta(0.1), col='yellow')

Задатак 40. Симулирати 200 вредности \(Y=1+\upsilon+\cdot\cdot\cdot+\upsilon^K=\ddot{a}_{\overline{K+1}\!|}\), при чему је \(K=K(40)\), \(i=5\%\) и смртност прати таблице. Упоредити узорачке и теоријске вредности очекивања и дисперзије.

Решење: \(P\{K=k\}={_kp_x}q_{x+k}=\frac{d_{x+k}}{l_x}\)

Алгоритам

  1. одредити функцију расподеле од \(K\) уз помоћ таблица смртности,
  2. узети узорак од 200 вредности из униформне \(\mathcal{U}(0,1)\) расподеле,
  3. одредити \(K\) за вредности из узорка,
  4. одредити \(Y=\frac{1-\upsilon^{K+1}}{1-\upsilon}\),
  5. одредити \(\overline{X}_n\) и \(\overline{S}_n^2\).
x<-40
i<-0.05
v<-1/(1+i)
raspodela<-c()
raspodela[1]<-0
for (j in 2:(100-x)) {
  raspodela[j]<-raspodela[j-1]+d[x+j]/l[x]
}
u<-runif(200)
K<-c()
for (k in 1:200) {
  for (j in 1:(length(raspodela)-1)) {
    if ((u[k]>=raspodela[j]) & (u[k]<raspodela[j+1]))
      K[k]<-j
  }
}
K[is.na(K)]<-100
Y<-(1-v^(K+1))/(1-v)

a<-mean(Y)
a
## [1] 16.59931
D<-var(Y)
D
## [1] 8.8386

Теоријске вредности:

\(Y=\frac{1-Z}{1-\upsilon},\;Z-\)садашња вредност доживотног осигурања

\(EY=\frac{1-EZ}{1-\upsilon}\)

\(DY=\frac{1}{(1-\upsilon)^2}DZ=\frac{1}{(1-\upsilon)^2}({^2A_x}-A_x^2)\)

v<-1/(1+i)
E<-(1-dozivotno(x,i))/(1-v)
E
## [1] 16.80178
v2<-v^2
kamata1<-1/v2-1
D<-(dozivotno(x,kamata1)-dozivotno(x,i)^2)/(1-v)^2
D
## [1] 10.30737

Задатак 41. Особа од 40 година је освојила награду од 10000 евра на лутрији. Уместо једнократне исплате тог износа, добитник може добијати фиксан износ \(X\) сваке године, на годишњицу освајања награде, при чему се гарантује да ће првих 10 исплата бити извршено. Ако су износи добијени на ова два начина (актуарски) једнаки, одредити износ \(X\). Годишња каматна стопа је \(4\%\), а смртност прати таблице.

Решење:

\[\begin{align*} 10000&=X(\ddot{a}_{\overline{10}\!|}+{_{10|}}\ddot{a}_x)=X(\ddot{a}_{\overline{10}\!|}+\upsilon^{10}{_{10}p_x}\ddot{a}_{x+10}) =X\left(\frac{1-\upsilon^{10}}{1-\upsilon}+\upsilon^{10}{_{10}p_x}\sum\limits_{k=0}^\infty \upsilon^{k}{_kp_{x+10}}\right). \end{align*}\]

x<-40
i<-0.04
v<-1/(1+i)
X<-10000/((1-v^10)/(1-v)+v^10*l[x+10]/l[x]*dozivotna_renta(i)[x+10])
X
## [1] 520.1559

Задатак 42. Користећи претпоставку о линеарности \(_uq_x\) и таблице смртности са ефективном каматном стопом \(5\%\), одредити једнократну нето премију непосредне личне ренте за особу старости 40 година која траје 30 година и исплаћује се два пута годишње унапред.

Решење:

\[\begin{align*} \ddot{a}^{(2)}_{40:\overline{30}\!|}&=\alpha(2)\ddot{a}_{40:\overline{30}\!|}-\beta(2)(1-{_{30}p_{40}}\cdot\upsilon^{30})=\alpha(2)\sum\limits_{k=0}^{n-1}\upsilon^k\cdot{_kp_x}-\beta(2)(1-{_{30}p_{40}}\cdot\upsilon^{30}), \end{align*}\] где је \(\alpha(2)=\frac{i(1-\upsilon)}{2(1-\upsilon^\frac{1}{2})i^{(2)}},\) \(\beta(2)=\frac{i-i^{(2)}}{2(1-\upsilon^\frac{1}{2})i^{(2)}},\) \(1+i=(1+\frac{i^{(2)}}{2})^2\)

i<-0.05
x<-40
n<-30

privremena_renta_m_isplata<-function(x,i,m,n){
  v<-1/(1+i)
  im<-m*((1+i)^(1/m)-1)

  alfa<-i*(1-v)/(m*(1-v^(1/m))*im)
  beta<-(i-im)/(im*m*(1-v^(1/m)))
  
  a<-0
  for(k in 1:n){
    a<-a+v^(k-1)*l[x+k-1]/l[x]
  }
  am<-alfa*a-beta*(1-l[x+n]/l[x]*v^n)
  return(am)
}
privremena_renta_m_isplata(x,i,2,n)
## [1] 15.00227

Задатак 43. Претпоставимо да особа старости \(x+u,\;u\in(0,1)\), потписује полису доживотне ренте која се исплаћује \(m\) пута годишње. Одредити једнократну нето премију те ренте користећи таблице смртности, каматну стопу \(5\%\) и претпоставку линеарности вероватноће смртности ако је \(m=4\), \(x=30\) i \(u=\frac13\).

Решење:

\[\begin{align*} \ddot{a}^{(m)}_{x+u}&=\alpha(m)\left(\frac{1+ui}{1-{uq_x}}\ddot{a}_{x}-\frac{u(1+i)}{1-{uq_x}}\right)-\beta(m), \end{align*}\] gde je \(\alpha(m)=\frac{i(1-\upsilon)}{m(1-\upsilon^\frac{1}{m})i^{(m)}}\) i \(\beta(m)=\frac{i-i^{(m)}}{m(1-\upsilon^\frac{1}{m})i^{(m)}}\)

i<-0.05
x<-40

dozivotna_renta_m_isplata<-function(x,i,m,u){
  v<-1/(1+i)
  im<-m*((1+i)^(1/m)-1)

  alfa<-i*(1-v)/(m*(1-v^(1/m))*im)
  beta<-(i-im)/(im*m*(1-v^(1/m)))
  
  a<-0
  for(k in 1:(100-x)){
    a<-a+v^(k-1)*l[x+k-1]/l[x]
  }
  am<-alfa*((1+u*i)/(1-u*d[x]/l[x])*a-u*(1+i)/(1-u*d[x]/l[x]))-beta
  return(am)
}
dozivotna_renta_m_isplata(x,i,4,1/3)
## [1] 16.36382

Задатак 47. Особа старости 40 година потписује уговор о привременој ренти на 30 година према којем се прва исплата у износу 10000 добија на годишњицу потписивања уговора, а свака следећа исплата је за 300 мања од претходне.Одредити једнократну нето премију за ову ренту, ако смртност прати таблице и каматна стопа је \(5\%\).

x<-40
i<-0.05
iznos<-seq(from=10000,by=-300,length.out=30)
privremena_renta_plativa_naknadno<-function(x,i,n,iznos){
  v<-1/(1+i)
  a<-0
  for(k in 1:n){
    a<-a+iznos[k]*v^k*l[x+k]/l[x]
  }
  return(a)
}
privremena_renta_plativa_naknadno(x,i,30,iznos)
## [1] 98915.31
Премије осигурања

Задатак 52. Доживотно осигурање је издато особи старости \(x\) и обезбеђује осигурану суму од 10000. Годишње уплате се врше на почетку године у периоду од 20 година, а осигурана сума се плаћа на крају године смрти. Повраћај премије је активан током периода плаћања премије тако што се половина последње премије која се уплати враћа као додатак на осигурану суму. Ако смртност прати таблице, \(x=30\) и каматна стопа је \(5\%\), одредити годишњу нето премију.

Решење

\[\begin{align*} P_x=\frac{10000A_x}{(1+\frac{1-\upsilon}{2})\ddot{a}_{x:\overline{20}\!|}-\frac{1}{2}(1-\upsilon^{20}\cdot{_{20}p_x})}. \end{align*}\]

x<-30
i<-0.05
v<-1/(1+i)
Px<-10000*dozivotno(x,i)/((1+(1-v)/2)*privremena_renta_m_isplata(x,i,1,20)-1/2*(1-v^20*l[x+20]/l[x]))
Px
## [1] 104.637

Задатак 56. Полиса доживотног осигурања је издата особи старости 10 година са премијом која се плаћа доживотно на почетку године. Ако смрт наступи пре 15-те године живота, накнада је повраћај уплаћених нето премија са каматом, на крају године смрти. Ако смрт наступи након 15-те године живота, накнада је 1000. Одредити годишњу нето премију користећи таблице смртности и \(i=5\%\).

Решење

\[b_k=\begin{cases}P\cdot\ddot{s}_k=P\frac{(1+i)^k-1}{1-\upsilon},&k< 5\\ 1000,&k\geq5\end{cases}\]

i<-0.05
x<-10
neto_premija<-function(P,x,i){
  v<-1/(1+i)
  b<-P*((1+i)^(1:4)-1)/(1-v)
  b[5:(100-x)]<-1000
  A<-0
  for(k in 1:(100-x)){
    A<-A+b[k]*v^k*d[x+k-1]/l[x]
  }
  a<-dozivotna_renta(i)[x]
  return(A-P*a)
}
P<-uniroot(neto_premija,c(0,1000),x,i)$root
P
## [1] 2.990341

Задатак 57. Одредити проценат \(z\) годишњих зарада које особа мора да сачува сваке године како би обезбедила пензију које износи \(50\%\) последње плате. Претпоставити да особа има 30 година, да у пензију иде са 65 година, да је зарада на уштеђевину \(5\%\) на годишњем нивоу, плата расте стопом \(ј=6\%\) годишње, а смртност прати таблице. Нацртати график од \(z\) у односу на \(j\) од 3 до 7\(\%\) са размаком \(0.5\%\).

Решење

Ток новца: \(\begin{cases} -z\cdot X_k,&k=1,2,...,35\\ 0.5\cdot X_{35},&k=35,36,...,70\end{cases}\)

x<-30
i<-0.05

procenat_zarade<-function(z,j,x,i){
  v<-1/(1+i)
  P<-c()
  for (k in 1:35){
    P[k]<--z*(1+j)^k
  }
  P[36:70]<-0.5*(1+j)^35
  s<-c()
  for(k in 1:(100-x)){
    s[k]<-P[k]*v^k*l[x+k]/l[x]
  }
  return(sum(s))
}

uniroot(procenat_zarade,c(0,1),j=0.06,x,i)$root
## [1] 0.1431164

Задатак 58. Особа старости 30 година потписује полису доживотног осигурања које исплаћује износ 10000 првих 20 година, а 20000 након тога. Осигураник такође добија и повраћај премије са каматом у случају смрти у првих 20 година. Осигурана сума се исплаћује на крају године смрти, каматна стопа је \(5\%\), а смртност прати таблице. Ако се периодична константна нето премија плаћа два пута годишње доживотно и смртност током године је линеарна функција, одредити њену вредност.

Решење

\[\begin{align*} P=\frac{10000A_x+10000{_{20|}}A_x}{\ddot{a}^{(2)}_{x}-\ddot{a}^{(2)}_{x:\overline{20}\!|}}=\frac{10000A_x+10000\upsilon^{20}{_{20}p_x}A_{x+20}}{\ddot{a}^{(2)}_{x}-\ddot{a}^{(2)}_{x:\overline{20}\!|}}. \end{align*}\]

x<-30
n<-20
m<-2
i<-0.05
v<-1/(1+i)
P<-(10000*dozivotno(x,i)+10000*v^20*l[x+20]*dozivotno(x+20,i)/l[x])/(dozivotna_renta_m_isplata(x,i,m,0)-privremena_renta_m_isplata(x,i,m,n))
P
## [1] 458.2605

Задатак 62. Користећи таблице смртности одредити годишњу нето премију доживотног осигурања издатог особи старости \(x=30\). Накнада у случају смрти је заштићена од инфлације: сваке године накнада за случај смрти и годишња премија расту за фактор \(1+j\), где је \(j=0.06.\) Одредити премију за каматну стопу \(i=0.05,0.06,0.07,0.08\). Нацртати график зависности полазне премије од \(i\).

Решење

\[\sum\limits_{k=0}^\infty (1+j)^k\cdot\upsilon^{k+1}\cdot{_kp_x}\cdot q_{x+k}=\sum\limits_{k=0}^\infty P_x\cdot (1+j)^k\cdot\upsilon^{k}\cdot{_kp_x}\]

neto_premija_promenljivog_iznosa<-function(x,j,i){
  v<-1/(1+i)
  A<-0
  a<-0
  for(k in 1:(100-x)){
    A<-A+(1+j)^(k-1)*v^k*d[x+k-1]/l[x]
    a<-a+(1+j)^(k-1)*v^(k-1)*l[x+k-1]/l[x]
  }
  return(A/a)
}
neto_premija_promenljivog_iznosa(30,0.06,0.05)
## [1] 0.02477667
neto_premija_promenljivog_iznosa(30,0.06,0.06)
## [1] 0.02024591
neto_premija_promenljivog_iznosa(30,0.06,0.07)
## [1] 0.01647462
neto_premija_promenljivog_iznosa(30,0.06,0.08)
## [1] 0.01339167
plot(seq(0,1,0.1),neto_premija_promenljivog_iznosa(30,0.06,seq(0,1,0.1)),type='l', xlab = 'kamata', ylab = 'premija')

Задатак 63. Особа старости 60 година потписује полису доживотног осигурања за које се премија плаћа у три једнака износа, у тренутку потписивања уговора, на почетку треће године и на почетку четврте године (ако је уговор још увек валидан у тим тренуцима). Осигурана сума од 1000 се плаћа на крају године смрти. У случају смрти осигураног лица током прве две године, на крају године смрти се додатно исплаћује и уплаћена премија (без камате). У случају смрти осигураног лица током треће или четврте године, на крају године смрти се додатно исплаћује и половина уплаћених премија до тог тренутка (без камате). Ако је каматна стопа \(6\%\), одредити нето премију осигурања.

Решење

\[\begin{align*} P+P\upsilon^2{_2p_x}+P\upsilon^3{_3p_x}=1000A_x+P\upsilon q_x+P\upsilon^2p_xq_{x+1}+P\upsilon^3{_2p_x}q_{x+2}+\frac{3}{2}P\upsilon^4{_3p_x}q_{x+3}. \end{align*}\]

premija<-function(P,x,i){
  v<-1/(1+i)
  s1<-P+P*v^2*l[x+2]/l[x]+P*v^3*l[x+3]/l[x]
  s2<-1000*dozivotno(x,i)+P*v*d[x]/l[x]+P*v^2*d[x+1]/l[x]+P*v^3*d[x+2]/l[x]+3/2*P*v^4*d[x+3]/l[x]
  return(s1-s2)
}
uniroot(premija,c(0,1000),60,0.06)$root
## [1] 135.8722
Резерва нето премије

Задатак 66. Користећи таблице смртности и каматну стопу \(5\%\), одредити:

а) резерву нето премије у 15-ој години двадесетогодишњег мешовитог осигурања са осигураном сумом 1000 која се исплаћује на крају године смрти а издато је особи старости 45 година,

б) резерву нето премије у 15-ој години двадесетогодишњег привременог осигурања са осигураном сумом 1000 која се исплаћује на крају године смрти а издато је особи старости 45 година.

Решење

а) \(1000{_{15}V_{45:\overline{20}\!|}}=1000\left(1-\frac{\ddot{a}_{60:\overline{5}\!|}}{\ddot{a}_{45:\overline{20}\!|}}\right)\)

1000*(1-privremena_renta_m_isplata(60,0.05,1,5)/privremena_renta_m_isplata(45,0.05,1,20))
## [1] 645.0702

б) \(1000{_{15}V^1_{45:\overline{20}\!|}}=1000\left(A^1_{60:\overline{5}\!|}-\frac{A^1_{45:\overline{20}\!|}}{\ddot{a}_{45:\overline{20}\!|}}\cdot\ddot{a}_{60:\overline{5}\!|}\right)\)

1000*(privremeno(60,0.05,5)-privremeno(45,0.05,20)*privremena_renta_m_isplata(60,0.05,1,5)/privremena_renta_m_isplata(45,0.05,1,20))
## [1] 30.807

Задатак 67. Одредити вредност \(_tV_{30}, t=\overline{0,69}\), користећи таблице смртности и \(i=4\%\). Нацртати графика \(_tV_{30}\) као функције од \(t\), у односу на \(i=4\%, 6\%\) и \(8\%\).

Решење \(_tV_x=A_{x+t}-P_x\ddot{a}_{x+t}=A_{x+t}-\frac{{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}}\ddot{a}_{x+t}=A_{x+t}-\frac{{A}_{x}}{1-{A}_{x}}(1-{A}_{x+t})=\frac{{A}_{x+t}-{A}_{x}}{1-{A}_{x}}\)

rezerva<-function(x,i,t){
  return((dozivotno(x+t,i)-dozivotno(x,i))/(1-dozivotno(x,i)))
}
rezerva(30,0.04,1)
## [1] 0.00795194
sapply(0:69, function(j) rezerva(30,0.04,j))
##  [1] 0.00000000 0.00795194 0.01616506 0.02464162 0.03338430 0.04240591
##  [7] 0.05170070 0.06128224 0.07114604 0.08129754 0.09174269 0.10247917
## [13] 0.11351417 0.12484708 0.13647796 0.14840790 0.16063048 0.17314862
## [19] 0.18596639 0.19907306 0.21246716 0.22614085 0.24008809 0.25430457
## [25] 0.26878044 0.28350088 0.29846050 0.31364949 0.32905405 0.34465674
## [31] 0.36043714 0.37638490 0.39248111 0.40870530 0.42503587 0.44145077
## [37] 0.45792785 0.47444036 0.49096277 0.50747164 0.52394115 0.54033917
## [43] 0.55664241 0.57281879 0.58884175 0.60467831 0.62030226 0.63568309
## [49] 0.65079084 0.66559676 0.68006705 0.69417343 0.70788374 0.72116206
## [55] 0.73397411 0.74627495 0.75801492 0.76913383 0.77955227 0.78916513
## [61] 0.79782192 0.80530716 0.81129861 0.81530023 0.81653337 0.81373020
## [67] 0.80478006 0.78605943 0.73369497 0.56655703
plot(seq(0,69,1),sapply(0:69, function(j) rezerva(30,0.04,j)),type="l")
lines(seq(0,69,1),sapply(0:69, function(j) rezerva(30,0.06,j)), col="blue")
lines(seq(0,69,1),sapply(0:69, function(j) rezerva(30,0.08,j)),col="red")

Задатак 68. Потпуно дискретна 20 година одложена доживотна рента у износу 1 годишње издата је особи старости 35 година. Премије се плаћају једном годишње са константним износима у периоду од 20 година. Ако смртност прати таблице и каматна стопа је \(5\%\), одредити нето резерву премија на крају 10-те године.

Решење \({_{10}V_{35}}={_{10}}p_{45}\upsilon^{10}\ddot{a}_{55}-\frac{{_{20}}p_{35}\upsilon^{20}\ddot{a}_{55}}{\ddot{a}_{35:\overline{20}|}}\cdot\ddot{a}_{45:\overline{10}|}\)

i<-0.05
v<-1/(1+i)
v^{10}*dozivotna_renta_m_isplata(55,i,1,0)*l[55]/l[45]-v^20*dozivotna_renta_m_isplata(55,i,1,0)*privremena_renta_m_isplata(45,i,1,10)*l[55]/(l[35]*privremena_renta_m_isplata(35,i,1,20))
## [1] 4.990859

Задатак 71. За 20-то годишње осигурање издато особи старости 70 година осигурана сума се исплаћује на крају године смрти и једнака је 1000 плус нето резерва у том тренутку. Ако смртност прати таблице и каматна стопа је \(7\%\) на годишњем нивоу, одредити једнократну нето премију осигурања.

Решење \(P=\sum\limits_{k=0}^{19}\upsilon^{k+1}q_{70+k}\)

i<-0.07
v<-1/(1+i)
P<-0
for(k in 1:20){
  P<-P+v^k*d[70+k-1]/l[70+k-1]
}
1000*P
## [1] 693.853

Задатак 72. Осигуравајућа компанија је закључила 1000 уговора доживотног осигурања исте врсте са особама старости 30 година. Осигурана сума је 2000 и исплаћује се на крају године смрти, док се премија плаћа периодично на годишњицу потписивања уговора. Износ премије је одређен из принципа еквиваленције са каматном стопом \(5\%\), док смртност прати таблице. Осигуравајућа компанија овај портфолио реосигурава код компаније за реосигурање на следећи начин: премија за реосигурање се одређује сваке године у зависности од броја активних уговора а као осигурана сума се узима разлика између стварног осигураног износа и резерве на крају текуће године. Реосигуравач користи исте таблице смртности као и примарна осигуравајућа компанија. Одредити очекивану укупну премију коју је реосигуравач примио на крају пете године уговора о реосигурању.За 20-то годишње осигурање издато особи старости 70 година осигурана сума се исплаћује на крају године смрти и једнака је 1000 плус нето резерва у том тренутку. Ако смртност прати таблице и каматна стопа је \(7\%\) на годишњем нивоу, одредити једнократну нето премију осигурања.

Решење \(\Pi_5=q_{34}(2000(1-A_{35})+\frac{2000A_{30}}{\ddot{a}_{30}}\ddot{a}_{35})\)

Pi5<-(2000*(1-dozivotno(35,0.05))-2000*dozivotno(30,0.05)*dozivotna_renta_m_isplata(35,0.05,1,0)/dozivotna_renta_m_isplata(30,0.05,1,0))*d[34]/l[34]
1000*Pi5*l[34]/l[30]
## [1] 2511.102

Задатак 74. Десетогодишње мешовито осигурање са осигураном сумом 1000 издато је особи старости 50 година. Премија се плаћа годишње током трајања осигурања. Одредити премију за штедњу и ризико премију. Користити таблице смртности и \(i=4\%\).

Решење \[\Pi_k=\Pi_k^s+\Pi_k^r={_{k+1}V}\upsilon-{_kV}+(c_{k+1}-{_{k+1}V})\upsilon q_{x+k}\]

P<-function(i,x,k){
  Ps<-rezerva(x,i,k+1)/(1+i)-rezerva(x,i,k)
  Pr<-(1-rezerva(x,i,k+1))*(l[x+k]-l[x+k+1])/(l[x+k]*(1+i))
  return(c(Ps,Pr))
}
1000*P(0.05,30,3)
## [1] 5.827863 1.575609

Задатак 75. Полиса двадесетогодишњег потпуно дискретног мешовитог осигурања од 1000 је издата особи старости 35 година на основу таблица смртности и \(i=5\%\). Одредити осигурану суму редукованог \(paid-up\) осигурања доступног на крају 5-те године, а пред доспец1е 6-те премије. Претпоставити да читава резерва је доступна за исплаћивање полисе.

Решење

1000*(1-mesovito(35,0.05,20)*privremena_renta_m_isplata(40,0.05,1,15)/(mesovito(40,0.05,15)*privremena_renta_m_isplata(35,0.05,1,20)))
## [1] 175.5841
Модел осигурања више особа

Задатак 86. Потпуно дискретно осигурање са статусом последњег преживелог са осигураном сумом 1 издато је двема особама чија су времена преживљавања независна и имају \(35\) година. Годишња нето премија се плаћа до прве смрти. Ако је каматан стопа \(5\%\) и смртност прати таблице, одредити годишњу нето премију.

Решење \(P=\frac{2A_x-A_{x:x}}{\ddot{a}_{x:x}}\)

renta_zajednickog_dozivljenja<-function(x,y,i){
  v<-1/(1+i)
  a<-0
  for(k in 1:(100-max(x,y))){
    a<-a+v^(k-1)*(l[x+k-1]/l[x])*(l[y+k-1]/l[y])
  }
  return(a)
}
osiguranje_zajednickog_dozivljenja<-function(x,y,i){
  return(1-(1-1/(1+i))*renta_zajednickog_dozivljenja(x,y,i))
}
P<-(2*dozivotno(35,0.05)-osiguranje_zajednickog_dozivljenja(35,35,0.05))/(renta_zajednickog_dozivljenja(35,35,0.05))
P
## [1] 0.006227004

Задатак 88. Користећи таблице смртности и \(i=5\%\), одредити ануитет заједничког доживљења \((a_{x:y})\) и ануитет последњег преживелог \((a_{\overline{x:y}})\) за независне животе \(x=65\) и \(y=60\).

Решење

renta_zajednickog_dozivljenja(65,60,0.05)
## [1] 9.250067
renta_poslednjeg_prezivelog<-function(x,y,i){
  return(dozivotna_renta_m_isplata(x,i,1,0)+dozivotna_renta_m_isplata(y,i,1,0)-renta_zajednickog_dozivljenja(x,y,i))
}
renta_poslednjeg_prezivelog(65,60,0.05)
## [1] 13.97772