Претпоставимо да популација има \(N\) јединица и да су оне означене бројевима од 1 до \(N\) по неком реду и да се бира узорак обима n. Бирамо на случајан начин једну јединицу од првих \(k\) јединица, нека је то јединица \(i\), а затим бирамо сваку \(k\)-ту јединицу. Тако се узорак формира од јединица са индексима \[i, i+k, i+2 k, \dots, i+(n-1) k.\] Овако добијен узорак се назива систематски или периодични са интервалом (периодом или кораком) \(k\). На овај начин се случајно бира само једна јединица од првих \(k\) јединица, а затим се узима свака \(k\)-та јединица.

Нека је \(N=nk\), тада има \(k\) могућих систематских узорака

\[1: y_1, y_{k+1}, \cdots, y_{(n-1)k+1}\]

\[2: y_2, y_{k+2}, \cdots, y_{(n-1)k+2}\]

\[...\]

\[k: y_k, y_{2k}, \cdots, y_{nk}\]

Дакле, популација је подељена на \(k\) делова од којих сваки садржи \(n\) јединица. Избор случајно распоређеног систематског узорка је сада случајан избор једног од тих делова. Значи имамо \(k\) систематских узорака са по \(n\) елемената. Вероватноћа избора једног од њих је \(\frac{1}{k}\).

Ако је \(N \neq nk\), на пример, \(N=23,\ k=5\), различити систематски узорци из исте популације имају различит број елемената.

\(\color{lightseagreen}{\text{Оцена популацијске средње вредности и њене особине}}\)

Нека је са \(\mathcal S\) означен \(k-\)периодични узорак. \[\widehat m_Y^{sys}=\frac{1}{n} \sum_{j \in \mathcal{S}} y_{j}, \ E(\widehat m_Y^{sys})=m_Y\] \[D \widehat{m}_{Y}^{s y s}=\frac{1}{n^{2} k} \sum_{l=1}^{k}\left(\widehat \tau_{l}-nm_Y\right)^{2}\]

\(\color{lightseagreen}{\text{Задаци}}\)

  1. Популација се састоји од \(N=12\) елемената чија је вредност обележја популације једнака њиховом редном броју. Формирати систематске узорке обима \(n=4\) и израчунати дисперзију средине систематског узорка.

Решење

t_l<-c(22,26,30)
n<-4
t_Y<-sum(1:12)
k<-3
(d<-sum((t_l-n*t_Y/12)^2/((n^2)*k)))
## [1] 0.6666667