Количничко и регресионо оцењивање су технике оцењивања у теорији узорака у којима се користе допунске информације за ”поправљање” оцена. Уводи се помоћна случајна величина \(X\) која је у корелацији са обележјем популације \(Y\) која се испитује и која је позната на свим елементима узорка. Мора бити познат и тотал популације \(\tau_X\) величине \(X\). Дакле, циљ ове методе је да се побољша прецизност оцене (тј. да се смањи њена варијанса) коришћењем корелације између \(Y\) и \(X\).
Посматраћемо прост случајан узорак од \(n\). Количник обележја популације \(B\) једнак је
\[B :=\frac{\tau_{Y}}{\tau_{X}}=\frac{m_{Y}}{m_{X}},\]
а количник узорка
\[b=\frac{\sum_{k \in \mathcal{S}} y_{k}}{\sum_{k \in \mathcal{S}} x_{k}}=\frac{\widehat m_{Y}}{\widehat m_{X}}.\]
\[\widehat{B}=b, \ \ B(\widehat{B})= \frac{-\operatorname{cov}(b, \widehat{m}_X)}{m_{X}}\]
\[D(\widehat{B}) \approx \frac{1}{n {m}_Y^{2}}(1-\frac{n}{N}) \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-B x_{i}\right)^{2}, \ \ \widehat D(\widehat{B}) \approx \color{lightseagreen}{\frac{1}{\widehat{m}_Y^{2}}}(1-\frac{n}{N}) \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i \in \mathcal{S}}\left(y_{i}-b x_{i}\right)^{2}\]
\[\widehat{m}_{Y}^{r}=b \cdot m_{X}, \ \ B(\widehat{m}_{Y}^{r})=-\operatorname{cov}(b, \overline{X})\]
\[D(\widehat{m}_{Y}^{r})=\frac{1}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-B x_{i}\right)^{2}, \ \ \widehat D(\widehat{m}_{Y}^{r})=\color{lightseagreen}{\left(\frac{m_{X}}{\widehat m_X}\right)^{2} }\cdot \frac{1}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{1}{n-1} \sum_{i \in \mathcal{S}}\left(y_{i}-b x_{i}\right)^{2}\]
Количничка оцена непознатог популацијског тотала \(\tau_Y\), када је приступ заснован на методу случајног узорка са неједнаким вероватноћама укључења, дата је са
\[\widehat{\tau}_{G}=\frac{\widehat{\tau}_{Y}}{\widehat{\tau}_{X}} \cdot \tau_{X},\]
где су \(\widehat \tau_Y\) и \(\widehat \tau_X\) одговарајуће Horvitz-Thompson-ове оцене.
Као и количничко оцењивање и регресионо оцењивање се користи за повећање прецизности оцене помоћу помоћне случајне величине \(X\) за коју се претпостаља да је у корелационој вези са главним обележјем \(Y\). Када се оцени веза између \(Y\) и \(X\) и ако је та веза линеарна, а права не пролази кроз координатни почетак, користи се оценивање засновано на линеарној регресији \(Y\) по \(X\) уместо количника две променљиве.
Претпоставићемо да су познате вредности помоћне променљиве и обележја за све јединице у узорку, као и да је позната средња вредност \(m_X\).
\[\widehat{m}_{Y}^{l r}=\widehat m_Y+b_{1} \cdot\left(m_{X}-\widehat m_X\right),\]
где параметар \(b_1\), који се назива коефицијент линеарне регресије, изражава нагиб праве и оцењује промену вредности обележја \(Y\) када се \(X\) промени за јединицу.
\[E \widehat{m}_{Y}^{l r}=m_{Y}, \ \ \ D \widehat{m}_{Y}^{l r}=\frac{1}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{1}{N-1} \sum_{k=1}^{N}\left(y_{k}-\left(m_{Y}+b_{1} \cdot\left(x_{k}-m_{X}\right)\right)\right)^{2},\]
\[\widehat D \widehat{m}_{Y}^{lr}= \frac{1}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right) \frac{1}{n-1} \sum_{k \in S}\left(y_{k}-\left(\widehat m_Y+b_{1} \cdot\left(x_{k}-\widehat m_X\right)\right)\right)^{2}.\]
Вредност \(b_1\) за коју се добија минимална дисперзија \(D \widehat{m}_{Y}^{l r}\), је
\[b_{1}=\frac{\sum_{k=1}^{N}\left(x_{k}-m_{X}\right)\left(y_{k}-m_{Y}\right)}{\sum_{k=1}^{N}\left(x_{k}-m_{X}\right)^{2}}\]
и назива се линеарни регресиони коефицијент \(Y\) по \(X\).
Параметар \(b_1\) се може оценити из узорка: \[\frac{\sum_{k \in \mathcal{S}}\left(x_{k}-\widehat m_X\right)\left(y_{k}-\widehat m_Y\right)}{\sum_{k \in \mathcal{S}}\left(x_{k}-\widehat m_X\right)^{2}},\]
међутим, за такав избор параметра \(b_1\) оцена средње вредности неће бити непристрасна.
Регресиона оцена непознатог популацијског тотала \(\tau_Y\), када је приступ заснован на методу случајног узорка са неједнаким вероватноћама укључења, дата је са
\[\widehat{\tau}_{G}=\widehat{\tau}_{Y}+b_{1} \cdot\left(\tau_{X}-\widehat{\tau}_{X}\right),\]
где су \(\widehat \tau_Y\) и \(\widehat \tau_X\) одговарајуће Horvitz-Thompson-ове оцене, а \(b_1\) је тежинска оцена линеарног регресионог коефицијента
\[b_{1}=\frac{\sum_{k \in \mathcal{S}^{\prime}} \frac{1}{\pi_{k}}\left(x_{k}-\frac{\widehat{\tau}_{X}}{\widehat{N}_{\pi}}\right)\left(y_{k}-\frac{\widehat{\tau}_{Y}}{\widehat{N}_{\pi}}\right)}{\sum_{k \in \mathcal{S}^{\prime}} \frac{1}{\pi_{k}}\left(x_{k}-\frac{\widehat{\tau}_{X}}{\widehat{N}_{\pi}}\right)^{2}}.\]
Вредност \(\widehat{N}_{\pi}=\sum_{k \in \mathcal{S}^{\prime}} \frac{1}{\pi_{k}}\) је Horvitz-Thompson-ова оцена обима популације \(N\).