Стратификован узорак се примењује кад је потребно повећати прецизност оцене. То се постиже стратификацијом, тј. поделом популације на делове (стратуме или слојеве) при чему треба формирати релативно хомогене, међу собом разграничене стратуме, што значи да вредности обележја које посматрамо буду приближне на елементима у сваком стратуму, а да се вредности обележја елемената из различитих стратума међу собом битно разликују. Стратуми треба да буду међусобно дисјунктни и треба да обухвате комплетну популацију - свака јединица популације мора припадати неком стратуму. Као критеријум за поделу популације на делове користи се нека карактеристика популације (или више њих) која је са обележјем популације у корелацији.

Прецизност оцене зависи од хомогености јединица у оквиру стратума и на њу у великој мери утиче начин како су стратуми формирани. Зато се поставља питање како формирати стратуме, како одредити број стратума, како распоредити узорак по појединим стратумима.

Код стратификованог узорка популација од \(N\) јединица дели се на \(L\) делова (подпопулација или стратума) који немају заједничких елемената, а сви заједно дају целу популацију. Ако статуми садрже, редом, \(N_1, N_2,\ldots, N_L\) тада је \[N_{1}+N_{2}+\cdots+N_{L}=N.\]

Када су стратуми формирани, бира се, према неком плану, узорак из сваког стратума при чему су бирања елемената из стратума медђусобно независна. Нека су величине узорака по стратумима означене редом са \(n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{L}\), при чему је \(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{L}=n\) обим узорка.

Ако се бира прост случајан узорак из сваког стратума, читав поступак се описује као стратификован случајан узорак.

У наставку, стратуме ћемо означавати индексима \(h, h=1,2, \dots, L\), а са \(k\), јединице у оквиру стратума.

За стратум \(h\) користе се следеће ознаке:

Популацијске вредности:

\[\tau_{Y}=\sum_{h=1}^{L} \tau_{h}, \quad m_{Y}=\frac{\tau_{Y}}{N}\]

\(\color{lightseagreen}{\text{Оцена популацијског тотала и њене особине}}\)

\[\hat{\tau}_{Y}^{s t r} =\sum_{h=1}^{L} N_{h} \cdot \widehat{m}_{h} =\sum_{n=1}^{L} \sum_{k \in \mathcal{S}_{h}} \frac{N_{h}}{n_{h}} \cdot y_{h k}, \ \ E(\hat{\tau}_{Y}^{s t r})=\tau_Y\]

\[D(\hat{\tau}_{Y}^{str})=\sum_{h=1}^{L} N_{h}^{2} \cdot \frac{\sigma_{h}^{2}}{n_{h}}\left(1-\frac{n_{h}}{N_{h}}\right), \ \ \widehat D(\hat{\tau}_{Y}^{s t r})=\sum_{h=1}^{L} N_{h}^{2} \cdot \frac{\overline{S}_{h}^{2}}{n_{h}}\left(1-\frac{n_{h}}{N_{h}}\right) \] Ако су величине узорака \(n_{h}, h=1,2, \dots, L\) по стратумима довољно велике или ако постоји велики број стратума (са малим обимом узорка из сваког од стратума), приближан \(100(1-\alpha) \%\) интервал поверења за тотал обележја популације је

\[\left[\hat{\tau}_{Y}^{s t r}-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\widehat{D} \hat{\tau}_{Y}^{s t r}}, \hat{\tau}_{Y}^{s t r}+z_{1-\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\widehat{D} \hat{\tau}_{Y}^{s t r}}\right],\] где је \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) квантил стандардне нормалне расподеле.

За узорке мале величине, користи се \(t-\)расподела, за коју се број степени слободе одређује апроксимативно (Satterthwaite, 1946). Ако су величине стратума \(N_h\) једнаке и све величине узорака \(n_h\) једнаке, тада је број степени слободе једнак \(n-L\).

\(\color{lightseagreen}{\text{Оцена популацијске средње вредности и њене особине}}\)

\[\widehat{m}_{Y}^{s t r}=\frac{\widehat{\tau}_{Y}^{s t r}}{N}, \ \ E(\widehat{m}_{Y}^{s t r})=m_Y\] \[D(\widehat{m}_{Y}^{s t r})=\sum_{h=1}^{L}\left(\frac{N_{h}}{N}\right)^{2} \cdot \frac{\sigma_{h}^{2}}{n_{h}}\left(1-\frac{n_{h}}{N_{h}}\right), \ \ \widehat D(\widehat{m}_{Y}^{s t r})= \sum_{h=1}^{L}\left(\frac{N_{h}}{N}\right)^{2} \cdot \frac{\overline{S}_{h}^{2}}{n_{h}}\left(1-\frac{n_{h}}{N_{h}}\right)\]

Интервал поверења за средњу вредност обележја популације се може добити из резултата у вези са непознатим тоталом обележја популације, коришћењем везе \(\tau_{Y}=N m_{Y}\).

Важан проблем код стратификованог узорка је одређивање његовог обима \(n\) и обима по стратумима \(n_h\). У пракси се за решавање овог проблема најчешће користе:

\(\color{lightseagreen}{\text{Пропорционални распоред}}\)

Код пропорционалног распореда, број јединица које се бирају у узорак из одређеног стратума пропорционалан је укупном броју јединица у том стратуму и важи \[\frac{n_{h}}{n}=\frac{N_{h}}{N}.\]

Следи да је вероватноћа укључења првог реда једнака \[\pi_{h k}=\frac{n}{N}, \ \ \mbox{за свако} \ h \ \mbox{и свако} \ k.\]

У овом случају, оцене \(\widehat m_Y\) и \(\widehat m_Y^{s t r}\) су једнаке.

Ова техника се примељује када су обими стратума \(N_h\) велики и / или се средње вредности \(m_{h}, h=\overline{1, L}\) међусобно доста разликују.

\(\color{lightseagreen}{\text{Оптимални распоред}}\)

Оптималан распоред подразумева два приступа: минимизирање дисперзије оцене за фиксиране трошкове бирања узорка или минимизирање трошкова за задату дисперзију оцене. Трошкови обично укључују издатке за избор узорка, припремање и обраду података, припрему особа које спроводе анкету итд. Трошкови се деле на трошкове независне од узорка - то су стални или општи трошкови и на трошкове везане за испитивање јединица у стратумима. Ти трошкови могу бити различити по стратумима.

Претпоставимо да испитивање сваког елемента \(h-\)тог стратума кошта \(c_h\), тада су укупни трошкови испитивања \(C\) дати са \[C=C_{0}+\sum_{h=1}^{L} c_{h} \cdot n_{h},\] где су \(C_0\)стални (општи) трошкови.

Применом методе Лагранжових мултипликатора за одређивање условних екстремума функције, добија се

\[n_{h}=n \cdot \frac{\frac{N_{h} \cdot \sigma_{h}}{\sqrt{c_{h}}}}{\sum_{l=1}^{L} \frac{N_{l} \cdot \sigma_{l}}{\sqrt{c_{l}}}}.\]

Ова једначина даје \(n_h\) као функцију од \(n\), али \(n\) још није познато. Решење даље зависи од тога да ли су фиксирани трошкови или дисперзија оцене.

Ако су трошкови фиксирани, заменом вредности \(n_h\) и решавањем по \(n\) добија се \[n=\frac{\left(C-C_{0}\right) \cdot \sum_{l=1}^{L} \frac{N_{l} \cdot \sigma_{l}}{\sqrt{c_{l}}}}{\sum_{l=1}^{L} N_{l} \cdot \sigma_{l} \sqrt{c_{l}}}.\]

Важан је специјалан случај кад је \(c_h=c\), тј. кад су трошкови по јединици исти у свим стратумима. Тада је трошак \(C=C_0+c \cdot n\), па се оптималан распоред за фиксиране трошкове своди на оптималан распоред за фиксирану величину узорка. У том случају важи: \[n_{h}=n \cdot \frac{N_{h} \cdot \sigma_{h}}{\sum_{l=1}^{L} N_{l} \cdot \sigma_{l}}.\]

Овакав распоред се назива Neyman-ов распоред.

\(\color{lightseagreen}{\text{Задаци}}\)

  1. Нека је популација од 200 елемената подељена у три стратума са \(N_1=\) 60, $N_2=$90, $N_3=$50 и \(\sigma_1=2\sigma_2= 4\sigma_3\). Бира се стратификован узорак обима \(n\)= 30, одредити величину узорка узетог из сваког стратума: а) по пропорционалном распореду; б) по оптималном распореду (за једнаке трошкове).
n<-30
N<-200
Nh<-c(60,90,50)
sigmah<-c(4,2,1)
(nhp<-n*Nh/N)
## [1]  9.0 13.5  7.5
nho<-c()
for(i in 1:3)
 nho[i]<-n*Nh[i]*sigmah[i]/sum(Nh*sigmah)
(nho)
## [1] 15.319149 11.489362  3.191489
v1<-c(9,13,8)
v2<-c(9,14,7)
sum((1-v1/Nh)/v1)
## [1] 0.2652564
sum((1-v2/Nh)/v2)
## [1] 0.277619
  1. У фајлу pozoriste.txt су дати подаци о броју посета позоришту ученика неке школе, као и подела ученика по стратумима. Ученици су подељени у три стратума према успеху у школи. Изабрати стратификован узорак обима 30 користећи пропорционални распоред, а затим оценити просечан број посета позоришту ученика те школе, дисперзију оцене и оцену те дисперзије.
baza <- read.table("pozoriste.txt")
attach(baza)
n <- 30
(N <- length(V1))
## [1] 97
(N1 <- length(baza[V1==1,]$V1))
## [1] 39
(N2 <- length(baza[V1==2,]$V1))
## [1] 38
(N3 <- length(baza[V1==3,]$V1))
## [1] 20
(n1 <- round(n/N*N1))
## [1] 12
(n2 <- round(n/N*N2))
## [1] 12
(n3 <- round(n/N*N3))
## [1] 6
(uzorak_str1 <- baza[V1==1,][sample(1:N1,n1),])
##    V1 V2
## 34  1  0
## 39  1 12
## 89  1  0
## 43  1  1
## 94  1  0
## 61  1  0
## 63  1  0
## 97  1  0
## 85  1  3
## 21  1  2
## 57  1  0
## 35  1  0
(uzorak_str2 <- baza[V1==2,][sample(1:N2,n2),])
##    V1 V2
## 20  2  2
## 92  2  1
## 52  2 10
## 14  2  1
## 96  2  0
## 83  2  0
## 19  2  0
## 18  2  3
## 91  2 10
## 84  2  0
## 76  2  2
## 93  2  0
(uzorak_str3 <- baza[V1==3,][sample(1:N3,n3),])
##    V1 V2
## 3   3  7
## 71  3 10
## 68  3 33
## 27  3 10
## 70  3  8
## 6   3  7
m_h <- c(mean(uzorak_str1$V2),mean(uzorak_str2$V2),mean(uzorak_str3$V2))
N_h <- c(N1,N2,N3)
(broj_poseta <- sum(m_h*N_h)/N)
## [1] 4.127148
n_h <- c(n1,n2,n3)
sigma2_h <- c(var(baza[V1==1,]$V2),var(baza[V1==2,]$V2),var(baza[V1==3,]$V2))
(disp_ocene <- sum(N_h*sigma2_h*(N_h-n_h)/(N^2*n_h)))
## [1] 0.654002
S2_h <- c(var(uzorak_str1$V2),var(uzorak_str2$V2),var(uzorak_str3$V2))
(ocena_disp <- sum(N_h*S2_h*(N_h-n_h)/(N^2*n_h)))
## [1] 0.7388998