Узорак са неједнаким вероватноћама често се користи у пракси, док прост случајан узорак (код кога свака јединица популације има подједнаку вероватноћу да буде изабрана у узорак) има, углавном, теоријски значај.

У пракси се јединице узорка често знатно разликују по величини. Ако би тада применили прост случајан узорак оцене би имале велике дисперзије што би утицало на смањење њихове прецизности. У таквим случајевима примењује се избор јединица са вероватноћом која је пропорционална величини јединица узорка.

Примери

\(\color{firebrick}{\text{1. Horvitz-Thompson-ова оцена}}\)

Нека су познате вероватноће укључења првог реда \(\pi_k\) и вероватноће укључења другог реда \(\pi_{kl}\) (уз претпоставку да су све строго позитивне) за било који план, са или без понављања.

Тада је \(\color{firebrick}{\text {Horvitz-Thompson-ова оцена}}\) популацијског тотала дата са

\[\widehat{\tau}_{\pi}=\sum_{k \in \mathcal{S}^{\prime}} \frac{y_{k}}{\pi_{k}},\] где је \(\mathcal{S}^{\prime}\) редуковани узорак, тј. неуређен скуп кардиналности \(n_D\) у коме су изостављена евентуална понављањa јединица из оригиналног узорка.

\(\color{firebrick}{\text {Особине оцене}}\)

\[E(\widehat\tau_{\pi})=\tau_{\pi},\ \ \ D(\widehat\tau_{\pi})=\sum_{k=1}^{N} \frac{1-\pi_{k}}{\pi_{k}} y_{k}^{2}+\sum_{k=1}^{N} \sum_{l=1 \atop l \neq k}^N \frac{\pi_{k l}-\pi_{k} \pi_{l}}{\pi_{k} \pi_{l}} y_{k} y_{l},\]

\[\widehat D(\widehat\tau_{\pi})=\sum_{k \in S^{\prime}}\left(\frac{1}{\pi_{k}^{2}}-\frac{1}{\pi_{k}}\right) y_{k}^{2}+\sum_{k \in \mathcal{S}^{\prime}} \sum_{l \in S^{\prime} \atop l \neq k}\left(\frac{1}{\pi_{k} \pi_{l}}-\frac{1}{\pi_{k l}}\right) y_{k} y_{l}\]

Приметимо да се за оцену дисперзије Horvitz-Thompson-ове оцене тотала може добити негативна вредност. Постоји алтернативна оцена коју су дали Yates и Grundy (1953) и Sen (1953), када је приступ заснован на методу случајног узорка без понављања. Нека је ефективан обим узорка \(n_D=n\) фиксирана (неслучајна) вредност (случајан узорак \(\mathcal S\) без понављања обима \(n\)).

Наводимо \(\color{firebrick}{\text {Sen-Yates-Grundy-јеву оцену}}\) и њене особине. \[\widehat \tau_{\pi}=\sum_{k \in \mathcal{S}} \frac{y_{k}}{\pi_{k}}, \ \ E(\widehat \tau_{\pi})=\tau_{\pi},\ \ D(\widehat \tau_{\pi})= \frac{1}{2} \sum_{k \in \mathcal{S}} \sum_{l \in S \atop l \neq k} \frac{\pi_{k} \pi_{l}-\pi_{k l}}{\pi_{k l}}\left(\frac{y_{k}}{\pi_{k}}-\frac{y_{l}}{\pi_{l}}\right)^{2}\]

\(\color{firebrick}{\text{2. Hansen-Hurwitz-ова оцена}}\)

Случајан узорак \(\mathcal R\) у наставку сматрамо неуређеним скупом кардиналности \(n\), са евентуалним понављањима ознака јединица.

Код узорка са понављањем предложена је још једна оцена која се назива \(\color{firebrick}{\text {Hansen-Hurwitz-ова оцена}}\):

\[\widehat \tau_{\psi}=\frac{1}{n} \sum_{k \in \mathcal{R}} \frac{y_{k}}{\psi_{k}},\]

где \(\psi_{k}\), за фиксирано \(k\), представља вероватноћу да у произвољном извлачењу јединица означена са \(k\) буде одабрана у узорак.

\(\color{firebrick}{\text {Особине оцене}}\)

\[E(\widehat\tau_{\psi})=\tau_{\psi},\ \ \ D(\widehat\tau_{\psi})=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{N} p_{k}\left(\frac{y_{k}}{p_{k}}-\tau_\psi\right)^{2},\]

\[\widehat D(\widehat\tau_{\psi})= \frac{1}{n(n-1)} \sum_{k \in \mathcal{R}}\left(\frac{y_{k}}{\psi_{k}}-\hat{\tau}_{\psi}\right)^{2}\]

\(\color{firebrick}{\text{Задаци}}\)

  1. Популацију чини база података trees, која садржи податке о 31 дрвету. Изабрати узорак (n = 10) са понављањем са вероватноћама избора пропорционалним обиму дрвећа (променљива Girth) и оценити средњу вредност обележја за популацију користећи добијени узорак.

Решење

N <- length(trees$Girth)
# веробатноће избора
(p <- trees$Girth/sum(trees$Girth))
##  [1] 0.02020940 0.02093986 0.02142683 0.02556611 0.02605308 0.02629657
##  [7] 0.02678354 0.02678354 0.02702703 0.02727051 0.02751400 0.02775749
## [13] 0.02775749 0.02848795 0.02921841 0.03140979 0.03140979 0.03238374
## [19] 0.03335768 0.03360117 0.03408814 0.03457512 0.03530558 0.03895788
## [25] 0.03968834 0.04212320 0.04261018 0.04358412 0.04382761 0.04382761
## [31] 0.05015827
sum(p)
## [1] 1
# избор узорка са понављањем са вероватноћом избора пропорционалној girth
n <- 10
(s <- sample(1:N, n, repl=T, prob=p))
##  [1]  3 19 11 16  8 31 31 30  5 26
(uzorak <- trees$Volume[s])
##  [1] 10.2 25.7 24.2 22.2 18.2 77.0 77.0 51.0 18.8 55.4
(mhh<-sum(uzorak/p[s])/(n*N))
## [1] 31.55826
  1. У фајлу baza2.txt дати су подаци о броју радника и производњи у 10 фабрика у индустријској зони. Из ове популације изабрати узорак обима 3 са понављањем са вероватноћама избора пропорционалним броју радника у фабрици. Користећи добијени узорак одередити Hansen - Hоrwitz-ову оцену укупне производње.

Решење

baza <- read.table("baza2.txt")
baza
##    V1    V2
## 1  25  47.3
## 2  30  58.3
## 3  18  27.6
## 4  42  84.7
## 5  11  39.7
## 6  45 101.1
## 7  15  28.4
## 8  55 120.7
## 9   7  27.1
## 10 32  61.7
p <- baza$V1/sum(baza$V1)
s <- sample(1:10,3,prob = p, replace=T)
(uzorak <- baza[s,])
##     V1   V2
## 4   42 84.7
## 4.1 42 84.7
## 1   25 47.3
(ocena_proiz <- sum(uzorak$V2/p[s])/3)
## [1] 553.0311