Прост случајан узорак је најједноставнији план узорка и одговара појму случајног узорка у статистици.

Прост случајан узорак може бити:

\(\color{lightseagreen}{\text{1. Прост случајан узорак без понављања}}\)

Прост случајан узорак без понављања SRSWOR (simple random sample without replacement) је план у коме се \(n\) различитих јединица узорка бира на случајан начин тако да свака могућа комбинација од \(n\) јединица има исту вероватноћу да буде изабрана из популације. Јединице се могу бирати једна по једна, при чему се изабрана јединица не враћа у популацију и у сваком кораку свака јединица популације која још није изабрана има исту вероватноћу да буде изабрана. И код неких других планова свака јединица може имати исту вероватноћу да буде изабрана у узорак, али само код простог случајног узорка сваки могући узорак од \(n\) јединица има исту вероватноћу.

Случајан одабир јединице (из популације у узорак) врши се коришћењем случајних и псеудослучајних бројева.

\(\color{lightseagreen}{\text{Вероватноћа укључења}}\)

\[\pi_{i}=\frac{\left( \begin{array}{l}{N-1} \\ {n-1}\end{array}\right)}{\left( \begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}=\frac{n}{N}, \ \ \pi_{i j}=\frac{\left( \begin{array}{l}{N-2} \\ {n-2}\end{array}\right)}{\left( \begin{array}{c}{N} \\ {n}\end{array}\right)}=\frac{n(n-1)}{N(N-1)}\]

\(\color{lightseagreen}{\text{Оцена популацијске средње вредности и њене особине}}\)

\[\widehat m_Y = \frac{1}{n} \sum_{k \in S} y_{k},\ \ \ \ \ \ \ E(\widehat m_Y)= m_{Y}\]

\[ D(\widehat m_Y)=\frac{\sigma^{2}}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right), \ \ \ \ \ \ \ \widehat D(\widehat m_Y) =\frac{\overline{S}^{2}}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)\]

\[\left[\widehat{m}_{Y}-z \sqrt{\frac{\overline{S}^{2}}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)}, \ \hat{m}_{Y}+z \sqrt{\frac{\overline{S}^{2}}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)}\right]\] * Ако је обим узорка \(n \geq 30\), \(z\) је кванитл \(\cal N(0,1)\) расподеле и означава се са \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\), а ако је обим узорка мањи од 30, \(z\) је кванитл \(t_{n-1}\) расподеле и означава се са \(t_{n-1 ; 1-\frac{\alpha}{2}}\)

\(\color{lightseagreen}{\text{Оцена популацијског тотала и њене особине}}\)

\[\widehat \tau_{Y} = N\widehat m_Y, \ \ \ \ \ \ \ E(\widehat \tau_{Y}) = \tau_{Y}\]

\[D(\widehat \tau_{Y}) = N^2D(\widehat m_Y), \ \ \ \ \ \ \ \widehat D(\widehat \tau_{Y}) = N^2\widehat D(\widehat m_Y)\] \[\left[\widehat\tau_{Y}-z \sqrt{\frac{N^2\overline{S}^{2}}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)}, \ \widehat\tau_{Y}+z \sqrt{\frac{N^2\overline{S}^{2}}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)}\right]\]

  • Ако је обим узорка \(n \geq 30\), \(z\) је кванитл \(\cal N(0,1)\) расподеле и означава се са \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\), а ако је обим узорка мањи од 30, \(z\) је кванитл \(t_{n-1}\) расподеле и означава се са \(t_{n-1 ; 1-\frac{\alpha}{2}}\)

\(\color{lightseagreen}{\text{2. Прост случајан узорак са понављањем}}\)

Ако се свака изабрана јединица враћа у популацију после избора, тада ма која јединица може бити изабрана више пута у узорак. Узорак од \(n\) јединица изабран на тај начин из популације од \(N\) јединица назива се случајан узорак са понављањем SRSWR (simple random sample with replacement). Овде су свих \(n\) избора независни и свака јединица из популације има исту вероватноћу да буде изабрана у узорак. Дакле, карактеристика случајног узорка са понављањем је да сваки могући низ од \(n\) јединица има исту вероватноћу да буде изабран.

\(\color{lightseagreen}{\text{Вероватноћа укључења}}\)

\[\pi_{k}=1-\left(\frac{N-1}{N}\right)^{n}, \ \ \pi_{k l}=1-2\left(\frac{N-1}{N}\right)^{n}+\left(\frac{N-2}{N}\right)^{n}\]

\(\color{lightseagreen}{\text{Оцена популацијске средње вредности и њене особине}}\)

\[ \widehat m_Y = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} y_{j_{k}}, \ \ \ \ \ \ \ E(\widehat m_Y)= m_{Y}\]

\[ D(\widehat m_Y)=\frac{N-1}{N} \cdot \frac{\sigma^{2}}{n}, \ \ \ \ \ \ \ \widehat D(\widehat m_Y) =\frac{\overline{S}^{2}}{n}\]

\[\left[\widehat{m}_{Y}-z \sqrt{\frac{N-1}{N} \cdot \frac{\sigma^{2}}{n}}, \ \hat{m}_{Y}+z \sqrt{\frac{N-1}{N} \cdot \frac{\sigma^{2}}{n}}\right]\] * Ако је обим узорка \(n \geq 30\), \(z\) је кванитл \(\cal N(0,1)\) расподеле и означава се са \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\), а ако је обим узорка мањи од 30, \(z\) је кванитл \(t_{n-1}\) расподеле и означава се са \(t_{n-1 ; 1-\frac{\alpha}{2}}\)

\(\color{lightseagreen}{\text{Оцена популацијског тотала и њене особине}}\)

\[\widehat \tau_{Y} = N\widehat m_Y, \ \ \ \ \ \ \ E(\widehat \tau_{Y}) = \tau_{Y}\]

\[D(\widehat \tau_{Y}) = N^2D(\widehat m_Y), \ \ \ \ \ \ \ \widehat D(\widehat \tau_{Y}) = N^2\widehat D(\widehat m_Y)\]

\[\left[\widehat\tau_{Y}-z \sqrt{N(N-1) \cdot \frac{\sigma^{2}}{n}}, \ \widehat\tau_{Y}+z \sqrt{N(N-1) \cdot \frac{\sigma^{2}}{n}}\right]\]

  • Ако је обим узорка \(n \geq 30\), \(z\) је кванитл \(\cal N(0,1)\) расподеле и означава се са \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\), а ако је обим узорка мањи од 30, \(z\) је кванитл \(t_{n-1}\) расподеле и означава се са \(t_{n-1 ; 1-\frac{\alpha}{2}}\)

\(\color{lightseagreen}{\text{Обим узорка}}\)

За одређивање обима узорка за оцењивање непознате популацијске средње вредности, користи се једначина:

\[n=\frac{1}{\frac{1}{n_{0}}+\frac{1}{N}}, \ \ \ n_{0}=\left(\frac{\sigma z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{\Delta}\right)^{2},\] где је \(\Delta\) највећа дозвољена апсолутна грешка.

\(\color{lightseagreen}{\text{Задаци}}\)

  1. Из основног скупа од \(N= 250\) домаћинстава изабрати случајан узорак обима \(n = 12\).

Решење

без понављања

sample(250,12)
##  [1]  78  79  33 167   5  93  32  44  46  52 109 196

са понављањем

sample(250,12,replace = T)
##  [1] 234 102  91 207 212 112  74  52 206 175 117  40
  1. Потписи једне петиције сређени су са 676 листова. Сваки лист има довољно места за 42 потписа, али многи листови имају мањи број потписа. Потписи су избројани на узорку од 50 листова (узорак око 7%) и резултати су дати. Оценити укупан број потписа \(\widehat \tau_Y\) и наћи дисперзију средине узорка \(\overline S^2\).

Решење

N<-676
n<-50
y_i<-c(42,  41,  36,  32,  29,  27,  23,  19,  16,  15,  14,  11,  10, 9,  7,  6,  5,  4,  3)
n_i<-c(23,  4,   1,   1,   1,   2,   1,   1,   2,   2,   1,   1,   1, 1,  1,  3,  2,  1,  1)

(m<-sum(y_i*n_i)/n)
## [1] 29.42
(t<-N*m)
## [1] 19887.92
(s2<-sum(n_i*(y_i-m)^2)/(n-1))
## [1] 228.9833
  1. Узет је прост случајан узорак од 10 кућа из популације од 100 кућа. Број становника у кућама из узорка је: 2, 5, 1, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 3.

Решење

x <- c(2,5,1,4,4,3,2,5,2,3)
n <- 10
N <- 100

а) Одредити просечан број становника по кући и оценити варијансу те оцене.

(t <- N*mean(x))
## [1] 310
(d_t <- N^2*(1-n/N)/n*var(x))
## [1] 1690

б) Оценити укупан број становника у популацији. Наћи оцену варијансе добијене оцене.

(m <- mean(x))
## [1] 3.1
(d_m <-(1-n/N)/n*var(x))
## [1] 0.169

в) Наћи приближни 90% интервал поверења за средину и за тотал обележја популације.

(c(m-qt(0.95,9)*sqrt(d_m),m+qt(0.95,9)*sqrt(d_m)))
## [1] 2.346414 3.853586
(c(t-qt(0.95,9)*sqrt(d_t),t+qt(0.95,9)*sqrt(d_t)))
## [1] 234.6414 385.3586
  1. Ботаничар жели да оцени број стабала брезе у некој области. Област је подељена на 1000 делова. Познато је из претходних испитивања да је дисперзија у броју стабала по области приближно \(\overline S^2 \approx 45\). Код простог случајног узорка, одредити величину узорка тако да 95% интервал поверења за оцену укупног броја стабала у области која се проучава не буде већи од: а) 500 стабала; б) 1000 стабала; в) 2000 стабала.

Решење

s2<-45
N<-1000
z<-qnorm(0.975)
delta<-c(500, 1000, 2000)
(n0<-N^2*z^2*s2/delta^2)
## [1] 691.46259 172.86565  43.21641
(n<-1/(1/n0+1/N))
## [1] 408.79567 147.38742  41.42612
  1. У индустријском граду у јужној Индији већина породица се бави текстилном индустријом. У фајлу baza1.txt дати су подаци о броју машина за ткање у свакој од 51 улице у том месту. Одредити укупан број машина за ткање у граду користећи прост случајан узорак величине \(n=8\).

Решење

Задатак ћемо решити користећи пакет \(\color{lightseagreen}{\text{"survey"}}\), који је погодан за анализу података добиjених истраживањем.

Први корак у тоj анализи требало би да буде “описивање” плана истраживања (survey design).

Функциjа svydesign() узима оваj опис и придружуjе га бази података, како би био креиран survey design object. Неки од аргумената ове функциjе су:

baza1 <- read.table("baza1.txt")
baza1
##    V1 V2
## 1   1 26
## 2   2 30
## 3   3  0
## 4   4 55
## 5   5  0
## 6   6  0
## 7   7 37
## 8   8  0
## 9   9  0
## 10 10 67
## 11 11  9
## 12 12 35
## 13 13 29
## 14 14 30
## 15 15  0
## 16 16 35
## 17 17  0
## 18 18  0
## 19 19 27
## 20 20 15
## 21 21 23
## 22 22  0
## 23 23 55
## 24 24 49
## 25 25  0
## 26 26 27
## 27 27 57
## 28 28 54
## 29 29 75
## 30 30  8
## 31 31 45
## 32 32  0
## 33 33 49
## 34 34  0
## 35 35 31
## 36 36  0
## 37 37 27
## 38 38 11
## 39 39  0
## 40 40 43
## 41 41 55
## 42 42  0
## 43 43 48
## 44 44 29
## 45 45 27
## 46 46 70
## 47 47 13
## 48 48  0
## 49 49 25
## 50 50 27
## 51 51 50
s<-sample(length(baza1$V1), 8)
uzorak<-baza1[s,]
#install.packages('survey')
library(survey)
## Loading required package: grid
## Loading required package: Matrix
## Loading required package: survival
## 
## Attaching package: 'survey'
## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     dotchart
uzorak$Total <- 51  ##dodamo kolonu bazi uzorka
uzorak1 <- svydesign(ids=~1, data=uzorak, fpc=~uzorak$Total)
print(uzorak1)
## Independent Sampling design
## svydesign(ids = ~1, data = uzorak, fpc = ~uzorak$Total)
svymean(~V2, uzorak1)
##    mean     SE
## V2 20.5 6.7898
mean(uzorak$V2)
## [1] 20.5
svytotal(~V2, uzorak1)
##     total     SE
## V2 1045.5 346.28
confint(svytotal(~V2, uzorak1))
##       2.5 %   97.5 %
## V2 366.8029 1724.197

*за вежбу: урадити задатак без коришћења пакета “survey”

  1. Популацију чини база trees, која садржи податке о 31 дрвету. Изабрати прост случајан узорак обима \(n=10\) и оценити средњу вредност променљиве Volume за популацију користећи добијени узорак. Затим поступак поновити 1000 пута и за тако добијене вредности одредити сумарне статистике и нацртати хистограм. Упоредити оцену средње вредности добијене на основу једног узорка и оцену добијену симулацијом.

Решење

trees
##    Girth Height Volume
## 1    8.3     70   10.3
## 2    8.6     65   10.3
## 3    8.8     63   10.2
## 4   10.5     72   16.4
## 5   10.7     81   18.8
## 6   10.8     83   19.7
## 7   11.0     66   15.6
## 8   11.0     75   18.2
## 9   11.1     80   22.6
## 10  11.2     75   19.9
## 11  11.3     79   24.2
## 12  11.4     76   21.0
## 13  11.4     76   21.4
## 14  11.7     69   21.3
## 15  12.0     75   19.1
## 16  12.9     74   22.2
## 17  12.9     85   33.8
## 18  13.3     86   27.4
## 19  13.7     71   25.7
## 20  13.8     64   24.9
## 21  14.0     78   34.5
## 22  14.2     80   31.7
## 23  14.5     74   36.3
## 24  16.0     72   38.3
## 25  16.3     77   42.6
## 26  17.3     81   55.4
## 27  17.5     82   55.7
## 28  17.9     80   58.3
## 29  18.0     80   51.5
## 30  18.0     80   51.0
## 31  20.6     87   77.0
trees[sample(length(trees$Girth), 10),]
##    Girth Height Volume
## 26  17.3     81   55.4
## 3    8.8     63   10.2
## 22  14.2     80   31.7
## 16  12.9     74   22.2
## 11  11.3     79   24.2
## 31  20.6     87   77.0
## 21  14.0     78   34.5
## 30  18.0     80   51.0
## 17  12.9     85   33.8
## 13  11.4     76   21.4
totali <- c()
sredine <- c()
for (i in 1:1000){
  totali[i] <- 31*mean(trees[sample(length(trees$Girth), 10),]$Volume)
  sredine[i] <- mean(trees[sample(length(trees$Girth), 10),]$Volume)
}
totali
##    [1]  865.83  718.27  896.52  845.37  628.99 1029.20 1126.54  855.91
##    [9]  858.08  824.29 1097.40  961.31  696.26  921.94  773.45  876.68
##   [17]  914.19 1037.57  642.63  584.97  884.74  962.86  964.10  748.65
##   [25]  894.04  941.16 1064.54 1008.43  697.81  882.57  864.59  956.04
##   [33]  925.66  998.82 1017.11  771.59  964.10 1021.14  938.99  892.80
##   [41]  870.79  972.78 1230.39  785.23  792.05  731.91  875.13  663.40
##   [49]  775.00 1174.59  843.51 1073.84  972.16 1142.35  839.79  784.61
##   [57] 1148.24 1093.37  927.52  929.07  661.23  728.50  904.58 1030.75
##   [65]  983.94  875.75  895.28  912.33  982.08 1200.94  902.72  933.41
##   [73]  963.48  934.03  825.84  751.44  916.98  983.63  789.26  803.21
##   [81] 1133.36 1034.78  731.29  980.22 1119.41  807.55  844.75 1093.06
##   [89] 1073.53  966.89  955.73  787.40 1140.18 1057.41  831.11 1152.27
##   [97] 1006.57  797.63  751.13 1293.63 1049.04  877.30 1155.37 1123.75
##  [105]  738.42 1088.41  827.70 1047.18  832.35 1056.48 1107.63  868.31
##  [113]  848.47 1069.81  697.19 1054.31  881.02  720.13 1040.05  806.93
##  [121]  923.18  900.55  812.20 1004.40  860.25  943.95 1010.60  933.41
##  [129] 1065.78  805.07  887.84  927.83 1043.77  634.57 1084.07  919.46
##  [137]  871.10  987.66  659.68  748.65 1063.61  944.26 1031.68 1038.19
##  [145] 1354.70  943.02  863.66  936.82 1011.84 1044.08  805.07  978.05
##  [153]  882.57  912.95  994.17  907.99 1140.80 1015.87 1299.83  855.91
##  [161]  837.00  993.86  986.73  650.38  806.00  927.52  984.25 1080.97
##  [169]  945.50 1023.62  745.55 1042.22  964.72 1186.99  778.72  740.90
##  [177] 1004.71 1009.36 1013.08 1094.30 1159.09  756.40  778.10 1033.54
##  [185] 1061.44  984.56  979.60 1061.44  811.58  869.86  745.86  836.69
##  [193]  875.44  840.72 1126.23 1026.10 1109.80  953.25 1003.47 1011.84
##  [201] 1170.56  879.78  961.00  896.83 1140.80  676.73  922.25  832.97
##  [209]  922.25  761.98  990.76  842.27  979.91  942.71 1116.62  717.96
##  [217]  685.10  999.44  862.42  889.70 1126.23  781.51 1042.22  952.01
##  [225] 1008.12  752.68  864.90  865.52  982.70  962.55  848.16 1025.48
##  [233] 1209.93 1170.87 1031.37 1032.61  972.16 1060.82 1030.75  971.85
##  [241]  807.55  955.73 1137.39 1000.06  814.68  837.00  894.97 1005.02
##  [249]  934.34  810.34  925.04  948.60  882.88  890.63  776.55  778.72
##  [257] 1182.03  855.60  949.22 1116.62  720.44 1118.17  867.07  985.18
##  [265]  760.74  921.94  986.42  764.46  934.34  985.49 1137.39  740.59
##  [273]  808.79 1189.47 1074.15  957.28 1057.41 1077.25  992.31  727.26
##  [281] 1020.21  963.48  841.96  736.25 1057.72  975.57  859.63 1054.93
##  [289] 1012.15  852.50  936.20 1020.52  769.42  831.11  881.02 1107.94
##  [297]  957.90  978.98 1187.61  930.00  925.97  989.52  944.57  956.66
##  [305]  915.43  937.13  921.32  987.35 1163.12  789.57  791.12  908.61
##  [313]  721.06  837.31  939.61  955.11  698.43  979.29  939.30 1076.94
##  [321] 1001.61  771.59  843.20  885.98  888.15 1019.28 1151.96 1069.81
##  [329] 1049.66  838.24 1126.85  835.76  938.99  725.71  674.87 1001.92
##  [337] 1158.78  987.97  908.92 1019.59 1007.19  950.15  992.00  778.41
##  [345] 1002.85  825.22  890.01 1002.23 1089.65  803.83  967.51  969.37
##  [353]  724.47  762.60 1058.65  851.26  981.46 1212.72  867.69 1086.86
##  [361]  930.62  893.11  757.64 1085.00 1107.63  819.02  799.18  821.19
##  [369]  992.31  849.09  831.11  952.32  968.75  838.55  683.86 1038.50
##  [377]  877.61  985.18  819.02  875.13 1143.28  969.68  878.54 1125.61
##  [385]  864.90 1139.25  695.33 1084.38 1044.39  706.80  916.67  836.69
##  [393]  786.78  976.19 1001.92  748.96 1123.75  968.44  894.35  722.61
##  [401]  983.32  787.09  861.49 1009.98  809.10  945.81 1138.32  924.11
##  [409]  952.63  767.56  943.64  889.08  922.25  879.16  833.59 1073.22
##  [417]  753.30 1081.28  922.25  652.24  878.23 1010.29  868.31 1058.65
##  [425]  953.87 1163.74  885.05  794.84 1024.24 1002.23 1156.92  984.87
##  [433] 1151.34  824.60  968.75 1080.35  872.03  900.24  954.18  911.09
##  [441]  966.89  952.94  921.32  864.28 1048.42 1139.56  947.05  791.12
##  [449]  780.58  977.12  711.14  981.15  915.43  858.39 1085.31  866.14
##  [457]  844.75  849.40 1063.30 1036.64 1030.13 1058.34  934.96 1152.89
##  [465]  911.71  832.35  757.64  906.13  876.99  988.59  735.63 1292.08
##  [473] 1174.90  860.25  990.76 1192.26 1098.64 1119.72  859.63  944.57
##  [481]  900.55  811.89  854.98  772.52  904.58 1017.73  648.83  990.14
##  [489] 1055.24 1066.09  651.93  756.40  945.50  827.70  850.33 1024.86
##  [497] 1045.01 1088.72  985.18  976.50  906.44  910.78 1203.42 1138.01
##  [505]  949.53 1093.99  869.86 1036.95  876.37 1109.80 1037.26  932.79
##  [513] 1074.15  829.25 1092.13  808.48 1012.77  951.08 1001.92  846.92
##  [521] 1111.97  774.38  812.51 1166.84  983.01 1234.42  893.73 1034.16
##  [529]  665.26  655.03  866.76  796.70  858.70 1052.14  889.70  840.10
##  [537]  939.61  811.27  996.34  954.80 1080.66  817.47  849.71 1117.86
##  [545] 1045.01  909.23  857.46 1013.39 1260.46  995.72 1019.28  860.87
##  [553]  996.96  808.48  708.97  863.04  838.24  900.55  711.14 1033.54
##  [561] 1146.07  761.98  819.33  644.49 1171.18  845.99  801.66  971.23
##  [569] 1003.16 1130.26 1220.47 1019.59 1173.66  893.73  919.46 1036.95
##  [577] 1103.91  981.46  904.89  772.21  883.50 1079.73 1055.55  705.87
##  [585]  892.80 1283.40  953.25  854.67 1080.97  947.98  820.26  881.02
##  [593]  874.82  955.73  966.58 1135.84  825.84  946.12  841.96  780.58
##  [601]  766.01  959.14  797.63  986.42 1004.09  668.98  954.18  848.78
##  [609]  829.25  908.30  899.31  868.62 1104.84  905.20  981.15 1145.45
##  [617]  799.18  844.75  989.52 1014.01  565.13  860.25  965.65 1153.51
##  [625]  858.39  925.97  922.87  842.89 1087.48  883.50  934.65  988.90
##  [633] 1059.89 1130.26  902.41 1040.67  710.21  997.58  916.05 1113.52
##  [641]  693.78 1090.58 1141.11 1038.81  809.10  843.51  939.61  969.68
##  [649]  891.56  723.54 1051.52  699.05 1017.73  802.59  735.01 1096.16
##  [657]  903.03  924.73  611.32  853.43  914.50  993.55  787.71 1175.52
##  [665] 1008.43  692.85  707.11 1083.14  967.20  921.63  756.40 1072.29
##  [673]  916.36  943.33  844.13 1002.23 1006.26  955.73  872.96 1101.74
##  [681]  899.31  876.68  912.33  943.64 1019.59 1051.21  995.41 1114.45
##  [689]  831.73 1043.77  961.93  946.43  927.21  775.62 1121.89 1036.95
##  [697] 1048.73  810.96 1187.30  917.60  766.32 1095.23  999.13  962.86
##  [705]  915.43 1061.13  951.39 1197.84 1082.83  875.75  983.32  756.71
##  [713]  837.31  996.34 1014.63 1185.44 1113.52 1049.97  838.24  927.52
##  [721]  885.98 1014.32  967.51  912.02  895.59  951.39  696.26  905.82
##  [729] 1103.29  993.55  906.75  952.01  901.79 1030.75  853.74 1093.68
##  [737]  805.69  876.99  701.22  756.09 1000.06  847.54  855.91  981.46
##  [745] 1134.91  902.10  954.80 1155.68  806.00  916.98  908.92 1057.41
##  [753] 1062.99  991.07  855.91  740.28 1200.01  698.12  980.22  811.27
##  [761] 1077.56  914.19 1140.80  680.14  863.35 1046.56  802.59 1124.68
##  [769]  718.27  932.79  953.87 1154.75 1170.56  988.28  966.58 1103.29
##  [777]  920.70 1144.52 1011.84  956.97 1080.04 1120.96 1121.89  900.86
##  [785]  885.67  851.57  848.16 1050.90 1252.71  949.22 1090.27  837.00
##  [793]  844.13  721.99  897.45  905.51  846.92 1036.95  780.58  798.25
##  [801] 1100.19  824.29 1090.27 1297.04  643.56  982.08  838.86 1060.51
##  [809]  954.18 1149.17  956.97  806.62  765.39  730.67 1156.61 1049.66
##  [817] 1148.55 1068.88  988.59  925.66  989.52 1181.10  730.36 1021.76
##  [825]  842.58  946.74 1048.11  984.25  856.84  972.16  843.20 1139.87
##  [833]  921.32 1114.76  723.85 1070.12  781.82  812.20  961.31  986.11
##  [841]  860.87  860.56  871.41 1026.72  778.72  848.47  880.71  779.65
##  [849]  736.56  833.59  977.12  768.18 1016.80  757.95  930.31  737.18
##  [857]  812.51  904.89 1012.77  881.33  972.16  813.44  919.15  919.46
##  [865]  951.70  966.89 1287.12  966.89  869.86  965.03  589.93 1017.73
##  [873]  614.11 1028.89  934.03  798.25  974.02 1183.89  834.21  981.15
##  [881] 1023.93 1028.58 1011.84 1066.09  949.53  830.49 1070.74  903.96
##  [889]  884.74  972.47 1014.01  742.14  877.61  952.01  981.77  904.27
##  [897]  763.84  850.02  810.96  737.80  959.76  703.39  977.43 1194.74
##  [905]  978.67 1041.29 1169.63  692.23 1119.10 1147.62  980.53  865.21
##  [913]  875.44 1154.13  965.03 1079.11  937.13  903.65  858.08  904.89
##  [921] 1074.46  709.28  984.56  822.12  669.29  821.50  876.06 1053.07
##  [929]  760.43  757.95  950.77  797.32 1170.25 1015.56 1051.21  990.76
##  [937]  873.89  765.70  921.32 1128.71  838.24  939.30 1134.60  881.02
##  [945] 1057.10 1095.23 1225.12  770.35  772.52 1152.89 1099.88 1082.83
##  [953]  919.46  981.77 1076.63  753.61 1101.12 1183.58 1213.65 1073.22
##  [961] 1156.61  886.29 1058.65 1104.84 1044.08  886.29  829.56 1155.68
##  [969]  742.45 1168.70 1349.12  900.24  920.39 1046.87  860.25 1114.14
##  [977]  847.85  852.81  737.80  877.30  952.01 1101.43  929.07 1014.63
##  [985]  874.51 1141.42 1163.43 1003.47  969.06  848.78  972.78  719.82
##  [993]  995.72  965.03 1037.57  876.99 1070.74  937.75  893.42  889.08
sredine
##    [1] 27.89 39.13 33.54 30.64 32.65 33.05 29.52 29.71 25.43 34.66 30.85
##   [12] 31.74 31.77 40.10 26.36 31.40 34.92 25.86 26.87 29.73 29.83 35.39
##   [23] 24.44 26.57 33.01 33.53 32.61 30.96 21.92 33.64 29.29 26.86 23.79
##   [34] 33.26 28.44 27.04 28.31 32.23 36.12 32.72 25.68 27.18 28.03 34.74
##   [45] 33.48 31.03 34.10 30.07 22.79 34.79 34.66 37.01 27.90 26.99 33.88
##   [56] 34.58 28.57 22.58 30.57 31.57 28.37 31.44 34.34 27.74 29.33 34.21
##   [67] 20.08 28.43 23.26 24.99 38.95 31.58 31.88 38.02 32.16 28.72 29.25
##   [78] 26.87 30.57 31.36 28.18 25.74 34.60 25.82 29.53 31.41 30.21 35.93
##   [89] 32.36 34.65 33.02 30.76 34.73 25.82 22.61 41.60 29.37 37.16 30.87
##  [100] 32.76 33.21 27.83 28.33 34.97 30.74 34.47 28.83 34.20 30.07 21.86
##  [111] 21.73 33.49 33.80 36.34 31.05 34.56 29.17 27.78 32.34 33.59 26.76
##  [122] 29.21 26.21 27.32 26.14 28.13 32.81 27.94 24.39 31.27 33.04 40.09
##  [133] 31.43 38.59 27.96 37.62 29.55 28.36 35.42 29.75 37.36 27.07 29.64
##  [144] 23.97 33.30 22.86 32.06 28.69 33.77 22.38 26.32 24.85 30.88 28.69
##  [155] 32.26 21.87 30.95 28.68 26.30 36.00 26.49 28.03 30.43 29.51 30.44
##  [166] 33.24 24.05 38.41 26.32 31.22 36.43 30.92 33.82 26.55 38.75 31.33
##  [177] 31.92 24.41 29.77 36.47 35.12 27.09 38.34 30.75 28.67 32.15 25.48
##  [188] 23.97 30.53 25.31 40.28 35.24 34.79 34.37 35.07 32.53 30.92 32.57
##  [199] 32.53 31.28 36.27 35.99 28.98 23.45 30.62 33.30 37.07 24.11 36.32
##  [210] 30.31 24.89 36.51 40.66 31.88 33.89 32.54 23.23 31.20 33.61 26.29
##  [221] 30.40 35.04 24.78 26.69 33.75 30.18 35.12 28.18 27.24 35.88 28.77
##  [232] 24.98 28.60 31.21 29.91 34.34 33.36 31.77 24.28 34.27 25.75 23.61
##  [243] 27.13 24.76 30.94 32.98 28.99 29.40 32.85 27.01 29.95 29.20 42.21
##  [254] 28.48 30.51 32.89 30.22 34.96 27.67 32.11 29.34 27.38 24.84 32.79
##  [265] 31.88 32.79 37.73 22.85 30.45 31.05 31.67 25.24 29.31 25.54 29.80
##  [276] 39.51 26.31 37.71 33.78 39.81 35.06 26.45 34.74 28.25 40.83 28.79
##  [287] 36.87 34.54 28.12 28.90 24.04 25.05 24.46 33.15 37.18 21.61 20.90
##  [298] 30.19 22.37 32.93 25.59 32.62 27.68 27.44 28.52 26.59 28.46 28.76
##  [309] 36.35 35.19 25.23 27.94 33.64 30.76 30.57 33.10 23.93 28.11 29.69
##  [320] 30.29 30.50 33.91 29.13 31.01 30.12 36.68 34.16 32.56 23.28 29.73
##  [331] 23.25 29.62 33.70 31.83 21.56 22.66 32.31 30.81 33.52 32.68 36.76
##  [342] 34.78 33.55 27.26 33.57 27.30 35.55 32.89 27.96 28.80 26.18 28.48
##  [353] 32.75 26.96 35.90 32.22 36.04 34.50 33.77 27.47 26.09 36.63 35.18
##  [364] 29.26 31.60 27.53 23.09 28.16 29.04 30.13 31.38 27.87 40.74 30.52
##  [375] 30.35 40.00 30.27 26.51 28.40 30.24 35.41 26.06 21.82 24.04 31.74
##  [386] 19.94 34.34 25.56 34.96 22.78 28.52 30.52 31.93 38.03 31.25 22.90
##  [397] 29.34 22.92 32.40 27.02 30.73 31.39 27.47 29.77 28.17 23.43 28.74
##  [408] 39.01 29.01 29.02 34.58 26.19 30.70 28.99 28.25 32.98 29.90 26.04
##  [419] 34.86 24.21 33.61 35.34 29.29 29.96 32.38 30.20 30.34 26.04 24.56
##  [430] 30.69 21.62 29.90 21.79 28.85 38.86 30.54 34.62 25.28 31.14 34.22
##  [441] 32.18 34.21 29.54 29.29 35.18 32.39 40.06 28.18 32.94 34.39 28.59
##  [452] 27.74 32.00 31.10 23.19 26.88 28.60 35.61 25.93 23.40 34.10 33.90
##  [463] 33.81 32.74 34.13 32.01 38.95 34.72 31.93 34.46 22.97 29.22 33.95
##  [474] 38.08 20.88 31.40 27.19 30.06 27.38 40.67 30.55 33.15 33.30 24.20
##  [485] 29.51 37.22 31.08 34.81 38.01 31.08 34.26 23.79 22.88 33.50 30.27
##  [496] 27.56 33.05 27.73 22.46 38.51 28.24 29.46 35.58 32.45 26.17 39.66
##  [507] 25.32 26.96 21.65 26.06 26.81 27.93 31.31 28.43 30.47 30.72 39.89
##  [518] 35.14 31.37 25.98 26.44 30.43 26.15 27.74 35.57 32.79 30.11 25.84
##  [529] 27.40 26.06 33.62 33.94 28.81 38.19 36.06 31.63 27.50 29.58 24.09
##  [540] 31.85 28.39 29.16 29.09 31.38 27.18 31.16 27.22 31.76 30.80 25.25
##  [551] 33.58 33.43 22.52 30.76 26.07 34.08 33.67 27.16 30.28 30.53 26.16
##  [562] 27.06 31.71 27.94 21.43 29.19 27.53 30.25 30.24 26.65 35.26 26.40
##  [573] 29.50 33.74 25.67 31.46 34.89 27.17 32.67 40.90 30.00 32.62 29.16
##  [584] 27.19 36.74 34.59 35.94 37.73 35.80 29.49 30.32 32.06 30.99 31.29
##  [595] 26.76 34.33 29.48 28.59 34.05 21.32 27.66 29.52 28.26 29.59 34.41
##  [606] 31.33 37.84 36.99 28.21 30.27 23.05 36.61 28.77 42.64 22.23 30.35
##  [617] 24.04 40.64 25.57 37.15 29.24 34.60 34.07 29.52 31.37 31.50 26.62
##  [628] 33.76 25.00 29.43 32.14 28.92 38.86 35.57 29.70 28.67 24.39 30.32
##  [639] 42.43 30.67 36.28 30.65 25.70 33.12 36.10 34.59 30.50 30.31 24.02
##  [650] 30.41 30.22 31.19 30.31 32.90 31.31 34.53 32.18 27.25 30.28 37.69
##  [661] 34.53 32.90 26.62 30.36 28.15 35.99 31.18 37.03 31.42 37.51 32.26
##  [672] 28.20 29.78 32.31 36.87 30.77 25.85 38.75 24.84 33.43 31.27 25.72
##  [683] 31.29 23.19 24.97 29.21 32.99 35.88 36.11 23.57 24.50 27.05 30.97
##  [694] 32.82 29.75 28.75 27.43 30.11 32.02 37.40 31.64 32.54 25.43 21.23
##  [705] 37.56 33.93 31.37 31.47 28.15 37.25 33.30 23.51 25.22 31.07 26.90
##  [716] 27.03 31.55 32.89 35.03 34.21 27.85 27.22 32.75 27.16 36.10 30.42
##  [727] 33.88 22.71 29.10 30.79 35.08 26.26 33.60 26.26 26.78 26.12 36.12
##  [738] 37.89 35.53 36.77 34.33 35.25 31.21 35.26 29.57 25.52 28.90 27.01
##  [749] 34.96 32.12 35.28 23.29 33.10 32.22 35.89 37.11 30.60 31.10 35.51
##  [760] 28.67 27.95 32.86 29.67 37.71 22.02 35.97 25.74 27.48 31.18 29.55
##  [771] 33.84 35.32 29.17 28.26 35.83 28.38 36.81 38.40 30.75 37.49 28.12
##  [782] 23.95 25.56 26.86 29.37 28.76 23.90 25.53 35.10 25.75 37.65 34.48
##  [793] 30.37 30.15 27.07 32.48 24.78 24.98 25.05 36.66 31.99 24.94 34.17
##  [804] 29.88 29.10 31.41 33.70 26.31 29.26 28.84 25.54 37.39 37.93 34.98
##  [815] 26.96 24.95 27.35 35.75 33.66 27.74 35.77 27.88 31.50 29.89 27.48
##  [826] 34.51 26.89 30.00 26.11 27.93 32.68 24.31 22.51 23.51 29.89 37.34
##  [837] 20.75 30.32 30.49 27.76 30.40 33.17 30.49 25.67 31.90 30.77 38.47
##  [848] 29.24 30.51 30.08 25.88 25.56 32.57 27.14 29.67 30.79 26.65 29.56
##  [859] 24.84 28.27 29.36 33.73 31.70 32.64 27.32 31.17 36.10 34.07 25.10
##  [870] 30.09 27.95 29.20 26.50 34.71 40.06 24.38 35.53 31.81 18.81 31.52
##  [881] 29.04 27.28 31.97 29.51 26.99 23.11 38.43 28.55 24.19 35.87 33.69
##  [892] 37.62 26.37 28.16 24.66 35.50 34.28 35.52 39.59 24.63 29.90 30.08
##  [903] 35.05 25.72 26.72 28.99 18.16 32.77 33.22 33.83 34.45 33.91 23.56
##  [914] 31.41 37.63 30.11 31.44 29.98 27.29 24.95 24.29 30.48 35.24 24.85
##  [925] 31.22 21.88 32.65 31.44 25.71 35.29 33.73 27.31 25.51 32.69 32.39
##  [936] 32.32 31.17 26.46 27.07 32.54 24.40 33.21 24.28 28.14 31.91 30.58
##  [947] 35.43 25.24 27.45 24.78 37.46 33.21 35.68 33.77 38.91 31.92 33.32
##  [958] 30.64 27.79 28.51 25.03 36.98 31.13 27.12 31.64 25.82 31.61 37.97
##  [969] 29.36 28.30 36.00 24.01 29.63 23.77 20.13 30.46 30.28 28.83 36.25
##  [980] 28.33 32.85 32.14 28.73 40.85 23.11 37.77 30.92 24.98 26.52 28.29
##  [991] 27.95 35.13 26.05 24.74 27.46 24.79 36.90 32.07 36.84 30.12
hist(totali, col=blues9)

hist(sredine, col=blues9)